En la teoría de la gravitación de Newton y en varias teorías clásicas relativistas de la gravitación , como la relatividad general , el tensor de mareas representa
- aceleraciones de marea de una nube de partículas de prueba (eléctricamente neutras, que no giran) ,
- tensiones de marea en un objeto pequeño sumergido en un campo gravitacional ambiental.
El tensor de mareas representa la aceleración relativa debida a la gravedad de dos masas de prueba separadas por una distancia infinitesimal. El componente representa la aceleración relativa en el dirección produjo un desplazamiento en el dirección.
Tensor de mareas para un cuerpo esférico
El ejemplo más común de mareas es la fuerza de las mareas alrededor de un cuerpo esférico ( por ejemplo , un planeta o una luna). Aquí calculamos el tensor de mareas para el campo gravitacional fuera de un objeto masivo esféricamente simétrico aislado. Según la ley gravitacional de Newton, la aceleración a a una distancia r de una masa central m es
(para simplificar las matemáticas, en las siguientes derivaciones usamos la convención de establecer la constante gravitacional G en uno. Para calcular las aceleraciones diferenciales, los resultados deben multiplicarse por G.)
Adoptemos el marco en coordenadas polares para nuestro espacio euclidiano tridimensional, y consideremos los desplazamientos infinitesimales en las direcciones radial y azimutal, y , que reciben los subíndices 1, 2 y 3 respectivamente.
Calcularemos directamente cada componente del tensor de mareas, expresado en este marco. Primero, compare las fuerzas gravitacionales en dos objetos cercanos que se encuentran en la misma línea radial a distancias del cuerpo central que difieren en una distancia h :
Debido a que al discutir los tensores estamos tratando con álgebra multilineal , solo retenemos términos de primer orden, por lo que. Dado que no hay aceleración en el o dirección debido a un desplazamiento en la dirección radial, los otros términos radiales son cero: .
De manera similar, podemos comparar la fuerza gravitacional en dos observadores cercanos que se encuentran en el mismo radio pero desplazado por una distancia (infinitesimal) h en el o dirección. Usando algo de trigonometría elemental y la aproximación de ángulo pequeño, encontramos que los vectores de fuerza difieren por un vector tangente a la esfera que tiene magnitud
Al usar la aproximación de ángulo pequeño, hemos ignorado todos los términos del orden , por lo que los componentes tangenciales son . Nuevamente, dado que no hay aceleración en la dirección radial debido a los desplazamientos en ninguna de las direcciones azimutales, los otros términos azimutales son cero:.
Combinando esta información, encontramos que el tensor de mareas es diagonal con los componentes del marco Esta es la forma de Coulomb característica de los campos de fuerza centrales esféricamente simétricos en la física newtoniana.
Formulación de arpillera
En el caso más general, donde la masa no es un solo objeto central esféricamente simétrico, el tensor de mareas se puede derivar del potencial gravitacional , que obedece a la ecuación de Poisson :
dónde es la densidad de masa de cualquier materia presente, y donde es el operador de Laplace . Tenga en cuenta que esta ecuación implica que en una solución de vacío , el potencial es simplemente una función armónica .
El tensor de mareas viene dado por la parte sin trazas [1]
de la arpillera
donde estamos usando el gráfico cartesiano estándar para E 3 , con el tensor métrico euclidiano
Usando resultados estándar en cálculo vectorial, esto se convierte fácilmente en expresiones válidas en otros gráficos de coordenadas, como el gráfico esférico polar.
Campo esféricamente simétrico
Como ejemplo, podemos calcular el tensor de mareas para un cuerpo esférico usando el hessiano. A continuación, conectemos el potencial gravitacionalen el arpillera. Podemos convertir la expresión anterior a una válida en coordenadas esféricas polares, o podemos convertir el potencial a coordenadas cartesianas antes de conectarlo. Adoptando el segundo curso, tenemos, lo que da
Después de una rotación de nuestro marco, que se adapta a las coordenadas esféricas polares, esta expresión concuerda con nuestro resultado anterior. La forma más sencilla de ver esto es configurar a cero para que los términos fuera de la diagonal se desvanezcan y y luego invocar la simetría esférica.
En relatividad general
En la relatividad general, el tensor de mareas se generaliza mediante el tensor de curvatura de Riemann . En el límite de campo débil, el tensor de mareas viene dado por las componentes del tensor de curvatura.
Ver también
Referencias
- ^ Baldauf, Tobías; Seljak, Uros; Desjacques, Vincent; McDonald, Patrick (13 de enero de 2018). "Evidencia de sesgo cuadrático del tensor de mareas del Halo Bispectrum". Physical Review D . 86 (8). arXiv : 1201.4827 . Código Bibliográfico : 2012PhRvD..86h3540B . doi : 10.1103 / PhysRevD.86.083540 . S2CID 21681130 .
enlaces externos
- Sperhake, Ulrich. "Notas de la conferencia sobre la relatividad general de la Parte II" (PDF) : 19 . Consultado el 13 de enero de 2018 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - Renaud, F .; Boily, CM; Naab, T .; Theis, cap. (20 de noviembre de 2009). "Mareas totalmente compresivas en fusiones de galaxias". El diario astrofísico . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Código Bibliográfico : 2009ApJ ... 706 ... 67R . doi : 10.1088 / 0004-637X / 706/1/67 . S2CID 15831572 .
- Duc, Pierre-Alain; Renaud, Florent. "Potencial gravitacional y tensor de mareas" . ned.ipac.caltech.edu . Caltech . Consultado el 13 de enero de 2018 .