En probabilidad cuántica , la ecuación Belavkin , también conocida como la ecuación Belavkin-Schrödinger , ecuación cuántica filtrar , ecuación maestra estocástico , es un quantum estocástico ecuación diferencial que describe la dinámica de un sistema cuántico de someterse a observación en tiempo continuo. Fue derivado y estudiado por Viacheslav Belavkin en 1988. [1] [2] [3]
Descripción general
A diferencia de la ecuación de Schrödinger , que describe la evolución determinista de la función de onda de un sistema cerrado (sin interacción), la ecuación de Belavkin describe la evolución estocástica de una función de onda aleatoria de un sistema cuántico abierto que interactúa con un observador:
Aquí, es un operador autoadjunto (o un vector de columna de operadores) del sistema acoplado al campo externo, es el hamiltoniano, es la unidad imaginaria, es la constante de Planck, y es un proceso estocástico que representa el ruido de medición que es una martingala con incrementos independientes con respecto a la medida de probabilidad de entrada. Tenga en cuenta que este ruido tiene incrementos dependientes con respecto a la medida de probabilidad de salidaque representa el proceso de innovación del producto (la observación). Para, la ecuación se convierte en la ecuación estándar de Schrödinger .
El proceso estocástico puede ser una mezcla de dos tipos básicos: el tipo de Poisson (o salto ), dónde es un proceso de Poisson correspondiente a la observación de conteo, y el tipo browniano (o difusión ), dónde es el proceso estándar de Wiener correspondiente a la observación continua. Las ecuaciones del tipo de difusión se pueden derivar como el límite central de las ecuaciones del tipo de salto con la tasa esperada de los saltos aumentando hasta el infinito.
La función de onda aleatoria está normalizado solo en el sentido cuadrático medio , pero en general no se normaliza para cada . La normalización de para cada da el vector de estado posterior aleatorio , cuya evolución se describe mediante la ecuación de Belavkin posterior, que no es lineal, porque los operadores y depender de debido a la normalización. El proceso estocástico en la ecuación posterior tiene incrementos independientes con respecto a la medida de probabilidad de salida , pero no con respecto a la medida de entrada. Belavkin también derivó la ecuación lineal para el operador de densidad no normalizado y la ecuación no lineal correspondiente para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado . Para dos tipos de ruido de medición, esto da ocho ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas básicas. Las formas generales de las ecuaciones incluyen todos los tipos de ruido y sus representaciones en el espacio de Fock . [4] [5]
La ecuación no lineal que describe la observación de la posición de una partícula libre, que es un caso especial de la ecuación de Belavkin posterior del tipo de difusión, también fue obtenida por Diosi [6] y apareció en los trabajos de Gisin, [7] Ghirardi, Pearle y Rimini, [8] aunque con una motivación o interpretación bastante diferente. Se postularon ecuaciones no lineales similares para los operadores de densidad posterior (aunque sin derivación) en la óptica cuántica y la teoría de las trayectorias cuánticas, [9] donde se denominan ecuaciones maestras estocásticas . El promedio de las ecuaciones para los operadores de densidad aleatoria sobre todas las trayectorias aleatorias conduce a la ecuación de Lindblad , [10] que es determinista.
Las ecuaciones de Belavkin no lineales para estados posteriores juegan el mismo papel que la ecuación de Stratonovich- Kushner en la probabilidad clásica, mientras que las ecuaciones lineales corresponden a la ecuación de Zakai . [11] Las ecuaciones de Belavkin describen la decoherencia en tiempo continuo del estado inicialmente puro. en un estado posterior mixto dando una descripción rigurosa de la dinámica del colapso de la función de onda debido a una observación o medición. [12] [13] [14]
Medición sin demolición y filtrado cuántico
La no conmutatividad presenta un desafío importante para la interpretación probabilística de las ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas debido a la inexistencia de expectativas condicionales para pares generales de observables cuánticos. Belavkin resolvió este problema descubriendo la relación de incertidumbre de perturbación de error y formulando el principio de no demolición de la medición cuántica. [13] [15] En particular, si el proceso estocástico corresponde al error (ruido blanco en el caso difusivo) de una observación ruidosa de operador con el coeficiente de precisión , entonces la observación indirecta perturba la dinámica del sistema por una fuerza estocástica , llamada fuerza de Langevin , que es otro ruido blanco de intensidad que no conmuta con el error . El resultado de tal perturbación es que el proceso de salida es conmutativo , y por lo tanto corresponde a una observación clásica, mientras que los operadores del sistema Satisfacer la condición de no demolición: todos los observables futuros deben conmutar con las observaciones pasadas (pero no con las observaciones futuras): para todos (pero no ). Tenga en cuenta que la conmutación de con y otro operador con no implica acumulación de con , por lo que el álgebra de futuros observables sigue siendo no conmutativa. La condición de no demolición es necesaria y suficiente para la existencia de expectativas condicionales., lo que hace posible el filtrado cuántico. [dieciséis]
Ecuaciones de estado posterior
Contando observación
Dejar ser un proceso de Poisson con incrementos hacia adelante casi en todas partes y de lo contrario y teniendo la propiedad . El número esperado de eventos es, dónde es la tasa de saltos esperada. Luego sustituyendo para el proceso estocástico da la ecuación lineal de Belavkin para la función de onda aleatoria no normalizada sometidos a observación de conteo. Sustituyendo, dónde es el operador de colapso, y , dónde es el operador de energía, esta ecuación se puede escribir de la siguiente forma
Función de onda normalizada se llama vector de estado posterior , cuya evolución se describe mediante la siguiente ecuación no lineal
dónde tiene expectativa . La ecuación posterior se puede escribir en la forma estándar
con , , y . Las ecuaciones correspondientes para el operador de densidad aleatoria no normalizado y para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado son como sigue
dónde . Tenga en cuenta que la última ecuación no es lineal.
Observación continua
Proceso estocástico , definido en la sección anterior, tiene incrementos hacia adelante , que tienden a como . Por lo tanto,se convierte en el proceso estándar de Wiener con respecto a la medida de probabilidad de entrada. Sustituyendo por da la ecuación lineal de Belavkin para la función de onda aleatoria no normalizada sometidos a observación continua. El proceso de salida se convierte en el proceso de innovación de difusión con incrementos . La ecuación de Belavkin no lineal del tipo de difusión para el vector de estado posterior es
con y . Las ecuaciones correspondientes para el operador de densidad aleatoria no normalizado y para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado son como sigue
dónde . La segunda ecuación no es lineal debido a la normalización. Porque, tomando el promedio de estas ecuaciones estocásticas sobre todos conduce a la ecuación de Lindblad
Ejemplo: observación continua de la posición de una partícula libre
Considere una partícula libre de masa . Los observables de posición y momento corresponden respectivamente a los operadores de multiplicación por y . Haciendo las siguientes sustituciones en la ecuación de Belavkin
la ecuación estocástica posterior se convierte en
dónde es la expectativa posterior de . Motivado por la teoría del colapso espontáneo en lugar de la teoría del filtrado, esta ecuación también fue obtenida por Diosi, [17] mostrando que el ruido de medición es el incremento de un proceso Wiener estándar . Hay soluciones de forma cerrada para esta ecuación, [18] así como ecuaciones para una partícula en potenciales lineales o cuadráticos. [1] [3] [19] Para un estado inicial gaussianoestas soluciones corresponden a un filtro lineal cuántico óptimo. [15] Las soluciones de la ecuación de Belavkin muestran que en el límitela función de onda tiene una dispersión finita, [20] por lo que se resuelve el efecto cuántico Zeno . [11]
Referencias
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