La identidad de Beltrami , que lleva el nombre de Eugenio Beltrami , es un caso especial de la ecuación de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones .
La ecuación de Euler-Lagrange sirve para extremar los funcionales de acción de la forma
dónde y son constantes y . [1]
Si , entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami,
donde C es una constante. [2] [nota 1]
La siguiente derivación de la identidad de Beltrami comienza con la ecuación de Euler-Lagrange,
Multiplicando ambos lados por u ′ ,
Según la regla de la cadena ,
dónde .
Reorganizar la expresión anterior produce,
Por lo tanto, sustituyendo esta expresión por en la segunda ecuación de esta derivación y moviendo todos los términos a un lado,
Por la regla del producto, el último término se reexpresa como
y reorganizando,
Para el caso de , esto se reduce a
de modo que tomar la antiderivada da como resultado la identidad Beltrami,
donde C es una constante. [3]
Solución al problema de la braquistocrona
La solución al problema de la braquistocrona es la cicloide.
Un ejemplo de una aplicación de la identidad de Beltrami es el problema de la braquistocrona , que implica encontrar la curva que minimiza la integral
El integrando
no depende explícitamente de la variable de integración , por lo que se aplica la identidad de Beltrami,
Sustituyendo y simplificando,
que se puede resolver poniendo el resultado en forma de ecuaciones paramétricas
con siendo la mitad de la constante anterior, , y siendo una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide . [4]