Función de masa binaria

En astronomía , la función de masa binaria o simplemente la función de masa es una función que restringe la masa del componente invisible (típicamente una estrella o exoplaneta ) en una estrella binaria espectroscópica de una sola línea o en un sistema planetario . Se puede calcular solo a partir de cantidades observables , a saber, el período orbital del sistema binario y la velocidad radial máxima.de la estrella observada. La velocidad de un componente binario y el período orbital proporcionan información (limitada) sobre la separación y la fuerza gravitacional entre los dos componentes y, por tanto, sobre las masas de los componentes.

Introducción

Dos cuerpos que orbitan alrededor de un centro de masa común, indicado por el signo más rojo. El cuerpo más grande tiene una masa mayor y, por lo tanto, una órbita más pequeña y una velocidad orbital más baja que su compañero de menor masa.

La función de masa binaria se sigue de la tercera ley de Kepler cuando se introduce la velocidad radial de una componente binaria (observada). ^[1] La tercera ley de Kepler describe el movimiento de dos cuerpos que orbitan un centro de masa común . Relaciona el período orbital (el tiempo que se tarda en completar una órbita completa) con la distancia entre los dos cuerpos (la separación orbital) y la suma de sus masas. Para una separación orbital dada, una masa total del sistema más alta implica velocidades orbitales más altas . Por otro lado, para una masa de sistema dada, un período orbital más largo implica una separación mayor y velocidades orbitales más bajas.

Debido a que el período orbital y las velocidades orbitales en el sistema binario están relacionados con las masas de los componentes binarios, la medición de estos parámetros proporciona cierta información sobre las masas de uno o ambos componentes. ^[2] Pero debido a que la verdadera velocidad orbital no se puede determinar en general, esta información es limitada. ^[1]

La velocidad radial es el componente de velocidad de la velocidad orbital en la línea de visión del observador. A diferencia de la velocidad orbital verdadera, la velocidad radial se puede determinar a partir de la espectroscopia Doppler de líneas espectrales a la luz de una estrella, ^[3] o de las variaciones en los tiempos de llegada de los pulsos de un púlsar de radio . ^[4] Un sistema binario se denomina binario espectroscópico de una sola línea si se puede medir el movimiento radial de solo uno de los dos componentes binarios. En este caso, se puede determinar un límite inferior en la masa del otro componente (invisible). ^[1]

La masa verdadera y la velocidad orbital verdadera no se pueden determinar a partir de la velocidad radial porque la inclinación orbital generalmente se desconoce. (La inclinación es la orientación de la órbita desde el punto de vista del observador, y relaciona la velocidad verdadera y la radial. ^[1] ) Esto provoca una degeneración entre masa e inclinación. ^{[5] [6]} Por ejemplo, si la velocidad radial medida es baja, esto puede significar que la verdadera velocidad orbital es baja (lo que implica objetos de baja masa) y la inclinación alta (la órbita se ve de borde), o que la la velocidad verdadera es alta (lo que implica objetos de gran masa) pero la inclinación es baja (la órbita se ve de frente).

Derivación para una órbita circular

Curva de velocidad radial con velocidad radial máxima K = 1 m / sy período orbital 2 años.

La velocidad radial máxima es la semi-amplitud de la curva de velocidad radial, como se muestra en la figura. El período orbital se encuentra a partir de la periodicidad en la curva de velocidad radial. Estas son las dos cantidades observables necesarias para calcular la función de masa binaria. ^[2]${\displaystyle K}$${\displaystyle P_{\mathrm {orb} }}$

El objeto observado del cual se puede medir la velocidad radial se considera el objeto 1 en este artículo, su compañero invisible es el objeto 2.

Sean y sean las masas estelares, con la masa total del sistema binario y las velocidades orbitales y las distancias de los objetos al centro de masa. es el semi-eje mayor (separación orbital) del sistema binario.${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$

Comenzamos con la tercera ley de Kepler, con la frecuencia orbital y la constante gravitacional ,${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a^{3}.}$

Utilizando la definición de la posición del centro de masa, , ^[1] se puede escribir${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$

${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$

Insertando esta expresión para en la tercera ley de Kepler, encontramos${\displaystyle a}$

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$

que se puede reescribir a

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$

La velocidad radial máxima del objeto 1, depende de la inclinación orbital (una inclinación de 0 ° corresponde a una órbita vista de frente, una inclinación de 90 ° corresponde a una órbita vista de borde). Para una órbita circular ( excentricidad orbital = 0) está dada por ^[7]${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle K=v_{1}\mathrm {sin} i=\omega _{\mathrm {orb} }a_{1}\mathrm {sin} i.}$

Después de sustituir obtenemos${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\mathrm {orb} }\mathrm {sin} ^{3}i}}.}$

La función de masa binaria (con unidad de masa) es ^{[8] [7] [2] [9] [1] [6] [10]}${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$

Para una masa estimada o asumida del objeto observado 1, se puede determinar una masa mínima para el objeto invisible 2 asumiendo . La verdadera masa depende de la inclinación orbital. La inclinación generalmente no se conoce, pero hasta cierto punto se puede determinar a partir de eclipses observados , ^[2] limitarse a la no observación de eclipses, ^{[8] [9]} o modelarse usando variaciones elipsoidales (la forma no esférica de una estrella en un sistema binario da lugar a variaciones de brillo en el curso de una órbita que dependen de la inclinación del sistema). ^[11]${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$${\displaystyle i=90^{\circ }}$${\displaystyle M_{2}}$

Limites

En el caso de (por ejemplo, cuando el objeto invisible es un exoplaneta ^[8] ), la función de masa se simplifica a${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$

${\displaystyle f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.}$

En el otro extremo, cuando (por ejemplo, cuando el objeto invisible es un agujero negro de gran masa ), la función de masa se convierte en ^[2]${\displaystyle M_{1}\ll M_{2}}$

${\displaystyle f\approx M_{2}\ \mathrm {sin} ^{3}i,}$

y dado que para , la función de masa da un límite inferior a la masa del objeto invisible 2. ^[6]${\displaystyle 0\leq \sin(i)\leq 1}$${\displaystyle 0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }}$

En general, para cualquiera o ,${\displaystyle i}$${\displaystyle M_{1}}$

${\displaystyle M_{2}>\mathrm {max} \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).}$

Órbita excéntrica

En una órbita con excentricidad , la función de masa viene dada por ^{[7] [12]}${\displaystyle e}$

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}(1-e^{2})^{3/2}.}$

Aplicaciones

Binarios de rayos X

Si el acretor en una binaria de rayos X tiene una masa mínima que excede significativamente el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (la masa máxima posible para una estrella de neutrones ), se espera que sea un agujero negro. Este es el caso de Cygnus X-1 , por ejemplo, donde se ha medido la velocidad radial de la estrella compañera. ^{[13] [14]}

Exoplanetas

Un exoplaneta hace que su estrella anfitriona se mueva en una pequeña órbita alrededor del centro de masa del sistema estrella-planeta. Este 'bamboleo' se puede observar si la velocidad radial de la estrella es lo suficientemente alta. Este es el método de velocidad radial para detectar exoplanetas. ^{[5] [3]} Usando la función de masa y la velocidad radial de la estrella anfitriona, se puede determinar la masa mínima de un exoplaneta. ^{[15] [16] : 9 [12] [17] La} aplicación de este método en Proxima Centauri , la estrella más cercana al sistema solar, condujo al descubrimiento de Proxima Centauri b , un planeta terrestre con una masa mínima de 1,27. M _⊕ . ^[18]

Planetas Pulsar

Los planetas púlsares son planetas que orbitan púlsares y varios se han descubierto utilizando la sincronización de púlsares . Las variaciones de velocidad radial del púlsar se derivan de los intervalos variables entre los tiempos de llegada de los pulsos. ^[4] Los primeros exoplanetas fueron descubiertos de esta manera en 1992 alrededor del púlsar de milisegundos PSR 1257 + 12 . ^[19] Otro ejemplo es PSR J1719-1438 , un púlsar de milisegundos cuyo compañero, PSR J1719-1438 b , tiene una masa mínima aproximada igual a la masa de Júpiter , según la función de masa. ^[8]

Referencias

1. Karttunen, Hannu; Kröger, Pekka; Oja, Heikki; Poutanen, Markku y Donner, Karl J., eds. (2007) [1ª publicación. 1987]. "Capítulo 9: estrellas binarias y masas estelares" . Astronomía fundamental . Springer Verlag . págs. 221-227. ISBN 978-3-540-34143-7.
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3. "Velocidad radial: el primer método que funcionó" . La sociedad planetaria . Consultado el 20 de abril de 2016 .
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