En matemáticas , la conjetura de Bing-Borsuk establece que cada-el espacio de retracción de vecindad absoluta homogénea dimensional es una variedad topológica . La conjetura ha sido probada para las dimensiones 1 y 2, y se sabe que la versión tridimensional de la conjetura implica la conjetura de Poincaré .
Definiciones
Un espacio topológico es homogéneo si, para dos puntos cualesquiera, hay un homeomorfismo de el cual toma a .
Un espacio métrico es una retractación de vecindad absoluta (ANR) si, para cada incrustación cerrada (dónde es un espacio métrico), existe un vecindario abierto de la imagen que se retrae a. [1]
Hay una declaración alternativa de la conjetura de Bing-Borsuk: supongamos está incrustado en para algunos y esta incrustación se puede extender a una incrustación de . Si tiene una vecindad de cilindro de mapeo de algún mapa con proyección de cilindro cartográfico , luego es una fibración aproximada . [2]
Historia
La conjetura fue hecha por primera vez en un artículo por RH Bing y Karol Borsuk en 1965, quienes la probaron paray 2. [3]
Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es cierta en la dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser cierta. [4]
La conjetura de Busemann establece que cada Busemann-El espacio es una variedad topológica. Es un caso especial de la conjetura de Bing-Borsuk. Se sabe que la conjetura de Busemann es cierta para las dimensiones 1 a 4.
Referencias
- ^ M., Halverson, Denise; Dušan, Repovš (23 de diciembre de 2008). "Las conjeturas de Bing-Borsuk y Busemann" . Comunicaciones matemáticas . 13 (2). ISSN 1331-0623 .
- ^ Daverman, RJ; Husch, LS (1984). "Descomposiciones y fibraciones aproximadas" . El diario matemático de Michigan . 31 (2): 197–214. doi : 10.1307 / mmj / 1029003024 . ISSN 0026-2285 .
- ^ Bing, RH; Armentrout, Steve (1998). Los artículos recopilados de RH Bing . American Mathematical Soc. pag. 167. ISBN 9780821810477.
- ^ Jakobsche, W. "La conjetura de Bing-Borsuk es más fuerte que la conjetura de Poincaré" . Fundamenta Mathematicae . 106 (2). ISSN 0016-2736 .