La aproximación binomial es útil para calcular aproximadamente potencias de sumas de 1 y un número pequeño x . Se afirma que
Es válido cuando y dónde y pueden ser números reales o complejos .
El beneficio de esta aproximación es que se convierte de exponente a factor multiplicativo. Esto puede simplificar enormemente las expresiones matemáticas (como en el ejemplo siguiente ) y es una herramienta común en física. [1]
La aproximación se puede probar de varias formas y está estrechamente relacionada con el teorema del binomio . Según la desigualdad de Bernoulli , el lado izquierdo de la aproximación es mayor o igual que el lado derecho siempre que y .
Derivaciones
Usando aproximación lineal
La función
es una función suave para x cerca de 0. Por lo tanto, se aplican las herramientas de aproximación lineal estándar de cálculo : uno tiene
y entonces
Por lo tanto
Según el teorema de Taylor , el error en esta aproximación es igual a por algún valor de que se encuentra entre 0 y x . Por ejemplo, si y , el error es como máximo . En notación pequeña o , se puede decir que el error es, significa que .
Usando Taylor Series
La función
dónde y puede ser real o complejo se puede expresar como una serie de Taylor sobre el punto cero.
Si y , entonces los términos de la serie se vuelven progresivamente más pequeños y se puede truncar a
Este resultado de la aproximación binomial siempre se puede mejorar manteniendo términos adicionales de la serie de Taylor anterior. Esto es especialmente importante cuandocomienza a acercarse a uno, o al evaluar una expresión más compleja donde los dos primeros términos de la serie de Taylor se cancelan ( ver ejemplo ).
A veces se afirma erróneamente que es una condición suficiente para la aproximación binomial. Un contraejemplo simple es dejar y . En este caso pero la aproximación binomial produce . Para pequeños pero grande , una mejor aproximación es:
Ejemplo
La aproximación binomial para la raíz cuadrada ,, se puede aplicar para la siguiente expresión,
dónde y son reales pero .
La forma matemática de la aproximación binomial se puede recuperar factorizando el término grande y recordar que una raíz cuadrada es lo mismo que una potencia de la mitad.
Evidentemente la expresión es lineal en Cuándo que de otro modo no es obvio en la expresión original.
Generalización
Si bien la aproximación binomial es lineal, se puede generalizar para mantener el término cuadrático en la serie de Taylor:
Aplicado a la raíz cuadrada, da como resultado:
Ejemplo cuadrático
Considere la expresión:
dónde y . Si solo se mantiene el término lineal de la aproximación binomial entonces la expresión se simplifica inútilmente a cero
Si bien la expresión es pequeña, no es exactamente cero. Así que ahora, manteniendo el término cuadrático:
Este resultado es cuadrático en razón por la cual no apareció cuando sólo lo lineal en términos de fueron retenidos.
Referencias
- ^ Por ejemplo, calculando la expansión multipolo . Griffiths, D. (1999). Introducción a la electrodinámica (Tercera ed.). Pearson Education, Inc. págs. 146-148.