En matemáticas , un bioctonion , o octonión complejo , es un par ( p, q ) en la que p y q son biquaternions .
El producto de dos bioctoniones se define mediante la multiplicación de biquaternion y el biconjugado p → p *:
La biocción z = ( p, q ) tiene z * = conjugado ( p *, - q ).
Entonces la norma N ( z ) del bioctonion z es zz * = pp * + qq *, que es una forma cuadrática compleja con ocho términos.
El álgebra de bioctoniones se introduce a veces simplemente como la complejación de octoniones reales , pero en el álgebra abstracta es el resultado de la construcción de Cayley-Dickson que comienza con el campo de los números complejos , la involución trivial y la forma cuadrática z 2 . El álgebra de bioctoniones es un ejemplo de un álgebra octonion .
Para cualquier par de bioctoniones y y z ,
mostrando que N es una forma cuadrática que admite composición y, por tanto, las bioctoniones forman un álgebra de composición .
Se han utilizado octoniones complejos para describir las generaciones de quarks y leptones . [1]
Referencias
- ^ C. Furey (2016) ¿ Física del modelo estándar a partir de un álgebra?
- JD Edmonds (1978) Nueve vectores, números complejos de octonión / cuaternión hipercomplejos, grupos de Lie y el mundo "real" , Foundations of Physics 8 (3-4): 303-11, doi : 10.1007 / BF00715215 enlace de PhilPapers .
- J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Descomposición no asociativa del operador de momento angular usando octoniones complejos" , presentación en una reunión de la American Physical Society
- DG Kabe (1984) "Distribución normal multivariante hipercompleja", Metrika 31 (2): 63-76 MR 744966
- AA Eliovich & VI Sanyuk (2010) "Polinormas", Física Teórica y Matemática 162 (2) 135−48 MR2681963