En matemáticas , un álgebra octonión o álgebra Cayley sobre un campo F es una estructura algebraica que es un 8- dimensional composición álgebra sobre F . En otras palabras, es un álgebra unital no asociativa A sobre F con una forma cuadrática no degenerada N (llamada forma norma ) tal que
para todos los x y y en A .
El ejemplo más conocido de un álgebra de octoniones son los octoniones clásicos , que son un álgebra de octoniones sobre R , el campo de los números reales . Los split octoniones también forman un álgebra octonión sobre R . Hasta el isomorfismo de R -algebra , estas son las únicas álgebras de octonion sobre los reales. El álgebra de bioctonions es el álgebra de octonión sobre el número complejo C .
El álgebra de octonión para N es un álgebra de división si y solo si la forma N es anisotrópica . Un álgebra de octonión dividida es aquella en la que la forma cuadrática N es isótropa (es decir, existe un vector x distinto de cero con N ( x ) = 0). Hasta F isomorfismo -algebra, hay una división única octonión álgebra sobre cualquier campo F . [1] Cuando F es algebraicamente cerrado o un campo finito , estos son los únicos octonión álgebra sobre F .
Las álgebras de octonion son siempre no asociativas. Sin embargo, son álgebras alternativas, siendo la alternatividad una forma más débil de asociatividad. Además, las identidades de Moufang se mantienen en cualquier álgebra de octonion. De ello se deduce que los elementos invertibles en cualquier álgebra de octonión forman un bucle de Moufang , al igual que los elementos de la norma unitaria.
Leonard Dickson describió la construcción de álgebras generales de octonión sobre un campo arbitrario k en su libro Algebren und ihre Zahlentheorie (1927) (página 264) y la repitió Max Zorn . [2] El producto depende de la selección de a γ de k . Dados q y Q de un álgebra de cuaterniones sobre k , el octonión se escribe q + Q e. Otro octonión puede escribirse r + R e. Luego, con * que denota la conjugación en el álgebra de cuaterniones, su producto es
La descripción en alemán de Zorn de esta construcción Cayley-Dickson contribuyó al uso persistente de este epónimo que describe la construcción de álgebras de composición .
N. Furey ha propuesto que las álgebras de octoniones se pueden utilizar en un intento de reconciliar los componentes del modelo estándar . [3]
Clasificación
Es un teorema de Adolf Hurwitz que las clases de isomorfismo F de la forma normal están en correspondencia biunívoca con las clases de isomorfismo de octonion F- álgebras. Por otra parte, las posibles formas norma son exactamente los Pfister 3-formas más de F . [4]
Dado que cualesquiera dos octoniones F -álgebras se vuelven isomórficos sobre el cierre algebraico de F , se pueden aplicar las ideas de la cohomología de Galois no abeliana . En particular, utilizando el hecho de que el grupo de automorfismos de los octoniones Split es la fracción de grupo algebraico G 2 , se ve la correspondencia de las clases de isomorfismo de octonión F -álgebras con clases de isomorfismo de G 2 - torsors más de F . Estas clases de isomorfismo forman el conjunto de cohomología de Galois no abeliano . [5]
Referencias
- ^ Schafer (1995) p.48
- ^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402, véase 399
- ^ Furey, C. (10 de octubre de 2018). "Tres generaciones, dos simetrías de calibre ininterrumpidas y un álgebra de ocho dimensiones" . Physics Letters B . 785 : 84–89. doi : 10.1016 / j.physletb.2018.08.032 . ISSN 0370-2693 . Consultado el 15 de octubre de 2020 .
- ^ Lam (2005) p.327
- ^ Garibaldi, Merkurjev y Serre (2003) págs. 9-10,44
- Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003). Invariantes cohomológicos en cohomología de Galois . Ciclos de Conferencias Universitarias. 28 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Okubo, Susumu (1995). Introducción al octonión y otras álgebras no asociativas en física . Montroll Memorial Lecture Series en Física Matemática. 2 . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 22. ISBN 0-521-47215-6. Zbl 0841.17001 .
- Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Una introducción a las álgebras no asociativas . Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
- Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Anillos que son casi asociativos . Prensa académica . ISBN 0-12-779850-1. Señor 0518614 . Zbl 0487.17001 .
- Serre, JP (2002). Cohomología de Galois . Springer Monografías en Matemáticas. Traducido del francés por Patrick Ion. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-42192-0. Zbl 1004.12003 .
- Springer, TA ; Veldkamp, FD (2000). Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.
enlaces externos
- "Álgebra de Cayley-Dickson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]