Un conjunto biordado ("boset") es un objeto matemático que ocurre en la descripción de la estructura del conjunto de idempotentes en un semigrupo . El concepto y la terminología fueron desarrollados por KSS Nambooripad a principios de la década de 1970. [1] [2] [3] Las propiedades definitorias de un conjunto biordado se expresan en términos de dos cuasiordenados definidos en el conjunto y, por lo tanto, el nombre conjunto biordado. Patrick Jordan, mientras era estudiante de maestría en la Universidad de Sydney, introdujo en 2002 el término boset como una abreviatura de biordered set. [4]
Según Mohan S. Putcha, "Los axiomas que definen un conjunto biordado son bastante complicados. Sin embargo, considerando la naturaleza general de los semigrupos, es bastante sorprendente que una axiomatización tan finita sea posible". [5] Desde la publicación de la definición original del conjunto biordado por Nambooripad, se han propuesto varias variaciones en la definición. David Easdown simplificó la definición y formuló los axiomas en una notación de flecha especial inventada por él. [6]
El conjunto de idempotentes en un semigrupo es un conjunto biordado y todo conjunto biordado es el conjunto de idempotentes de algún semigrupo. [3] [7] Un conjunto biordado regular es un conjunto biordado con una propiedad adicional. El conjunto de idempotentes en un semigrupo regular es un conjunto regular biordado, y todo conjunto regular biordado es el conjunto de idempotentes de algún semigrupo regular. [3]
Definición
La definición formal de un conjunto biordado dada por Nambooripad [3] requiere algunos preliminares.
Preliminares
Si X e Y son conjuntos y ρ⊆ X × Y , sea ρ ( y ) = { x ∈ X : x ρ y }.
Sea E un conjunto en el que se define una operación binaria parcial , indicada por yuxtaposición. Si D E es el dominio de la operación binaria parcial en E entonces D E es una relación en E y ( e , f ) está en D E si y sólo si el producto ef existe en E . Las siguientes relaciones se pueden definir en E :
Si T es cualquier enunciado sobre E que involucre la operación binaria parcial y las relaciones anteriores en E , se puede definir el dual izquierda-derecha de T denotado por T *. Si D E es simétrico, entonces T * es significativo siempre que T lo sea.
Definicion formal
El conjunto E se denomina conjunto biordered si los siguientes axiomas y sus duales son válidas para elementos arbitrarios e , f , g , etc. en E .
- (B1) ω r y ω l son relaciones reflexivas y transitivas en E y D E = (ω r ∪ ω l ) ∪ (ω r ∪ ω l ) −1 .
- (B21) Si f está en ω r ( e ) entonces f R fe ω e .
- (B22) Si g ω l f y si f y g están en ω r ( e ) entonces ge ω l fe .
- (B31) Si g ω r f y f ω r e entonces gf = ( ge ) f .
- (B32) Si g ω l f y si f y g están en ω r ( e ) entonces ( fg ) e = ( fe ) ( ge ).
En M ( e , f ) = ω l ( e ) ∩ ω r ( f ) (la M -set de e y f en ese orden), definir una relación por
- .
Entonces el set
se llama el conjunto sándwich de e y f en ese orden.
- (B4) Si f y g están en ω r ( e ) entonces S ( f , g ) e = S ( fe , ge ).
Conjuntos con biorred M y conjuntos biordados regulares
Decimos que un conjunto biordered E es una M -biordered establece si M ( e , f ) ≠ ∅ para todos e y f de E . Además, E se llama un conjunto biordered regulares si S ( e , f ) ≠ ∅ para todos e y f de E .
En 2012, Roman S. Gigoń dio una prueba simple de que los conjuntos ordenados M surgen de semigrupos E -inversivos . [8] [ aclaración necesaria ]
Subobjetos y morfismos
Subconjuntos ordenados
Un subconjunto F de un conjunto biordered E es un subconjunto biordered (subboset) de E si F es un conjunto biordered bajo la operación binaria parcial heredado de E .
Para cualquier e en E los conjuntos omega r ( e ), ω l ( e ) y ω ( e ) están biordered subconjuntos de E . [3]
Bimorfismos
Un mapeo φ: E → F entre dos conjuntos biordenados E y F es un homomorfismo de conjuntos biordenados (también llamado bimorfismo) si para todo ( e , f ) en D E tenemos ( e φ) ( f φ) = ( ef ) φ.
Ejemplos ilustrativos
Ejemplo de espacio vectorial
Sea V un espacio vectorial y
- E = {( A , B ) | V = A ⊕ B }
donde V = A ⊕ B medios que A y B son subespacios de V y V es la suma directa interna de A y B . La operación binaria parcial ⋆ en E definida por
- ( A , B ) ⋆ ( C , D ) = ( A + ( B ∩ C ), ( B + C ) ∩ D )
hace de E un conjunto biordado. Los quasiorders en E se caracterizan de la siguiente manera:
- ( A , B ) ω r ( C , D ) ⇔ A ⊇ C
- ( A , B ) ω l ( C , D ) ⇔ B ⊆ D
Conjunto biordado de un semigrupo
El conjunto E de idempotentes en un semigrupo S se convierte en un conjunto biordado si se define una operación binaria parcial en E de la siguiente manera: ef se define en E si y solo si ef = e o ef = f o fe = e o fe = f se cumple en S . Si S es un semigrupo regular, entonces E es un conjunto regular biordado.
Como ejemplo concreto, sea S el semigrupo de todas las asignaciones de X = {1, 2, 3} en sí mismo. Deje que el símbolo ( abc ) denote el mapa para el cual 1 → a , 2 → by 3 → c . El conjunto E de idempotentes en S contiene los siguientes elementos:
- (111), (222), (333) (mapas constantes)
- (122), (133), (121), (323), (113), (223)
- (123) (mapa de identidad)
La siguiente tabla (teniendo la composición de asignaciones en el orden diagrama) describe la operación binaria parcial en E . Una X en una celda indica que la multiplicación correspondiente no está definida.
∗ | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | (121) | (323) | (113) | (223) | (123) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(111) | (111) | (222) | (333) | (111) | (111) | (111) | (333) | (111) | (222) | (111) |
(222) | (111) | (222) | (333) | (222) | (333) | (222) | (222) | (111) | (222) | (222) |
(333) | (111) | (222) | (333) | (222) | (333) | (111) | (333) | (333) | (333) | (333) |
(122) | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | (122) | X | X | X | (122) |
(133) | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | X | X | (133) | X | (133) |
(121) | (111) | (222) | (333) | (121) | X | (121) | (323) | X | X | (121) |
(323) | (111) | (222) | (333) | X | X | (121) | (323) | X | (323) | (323) |
(113) | (111) | (222) | (333) | X | (113) | X | X | (113) | (223) | (113) |
(223) | (111) | (222) | (333) | X | X | X | (223) | (113) | (223) | (223) |
(123) | (111) | (222) | (333) | (122) | (133) | (121) | (323) | (113) | (223) | (123) |
Referencias
- ^ Nambooripad, KSS (1973). Estructura de semigrupos regulares . Universidad de Kerala , Thiruvananthapuram , India . ISBN 0-8218-2224-1.
- ^ Nambooripad, KSS (1975). "Estructura de semigrupos regulares I. Semigrupos regulares fundamentales". Foro de Semigroup . 9 (4): 354–363. doi : 10.1007 / BF02194864 .
- ^ a b c d e Nambooripad, KSS (1979). Estructura de semigrupos regulares - I . Memorias de la American Mathematical Society. 224 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2224-1.
- ^ Patrick K. Jordan. En conjuntos biordenados, incluido un enfoque alternativo a los semigrupos regulares fundamentales . Tesis de maestría, Universidad de Sydney, 2002.
- ^ Putcha, Mohan S (1988). Monoides algebraicos lineales . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 133 . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 121-122. ISBN 978-0-521-35809-5.
- ^ Easdown, David (1984). "Los conjuntos biordenados son subconjuntos biordenados de idempotentes de semigrupos". Revista de la Sociedad Matemática de Australia, serie A . 32 (2): 258–268.
- ^ Easdown, David (1985). "Los conjuntos biordenados proceden de semigrupos" . Revista de álgebra . 96 (2): 581–91. doi : 10.1016 / 0021-8693 (85) 90028-6 .
- ^ Gigoń, Roman (2012). "Algunos resultados sobresemigrupos E -inversivos". Cuasigrupos y sistemas relacionados 20 : 53-60.