En matemáticas, un semigrupo regular es un semigrupo S en el que cada elemento es regular , es decir, para cada elemento a en S existe un elemento x en S tal que axa = a . [1] Los semigrupos regulares son una de las clases de semigrupos más estudiadas, y su estructura es particularmente susceptible de estudio a través de las relaciones de Green . [2]
Historia
Los semigrupos regulares fueron introducidos por JA Green en su influyente artículo de 1951 "Sobre la estructura de los semigrupos"; este fue también el documento en el que se introdujeron las relaciones de Green . El concepto de regularidad en un semigrupo fue adaptado de una condición análoga para anillos , ya considerada por John von Neumann . [3] Fue el estudio de Green de los semigrupos regulares lo que lo llevó a definir sus célebres relaciones . Según una nota al pie de página en Green 1951, la sugerencia de que la noción de regularidad se aplique a los semigrupos fue hecha por primera vez por David Rees .
El término semigrupo inversivo (francés: demi-groupe inversif) se usó históricamente como sinónimo en los trabajos de Gabriel Thierrin (un alumno de Paul Dubreil ) en la década de 1950, [4] [5] y todavía se usa ocasionalmente. [6]
Los basicos
Hay dos formas equivalentes de definir un semigrupo S regular :
- (1) para cada a en S , hay una x en S , que se llama pseudoinversa , [7] con axa = a ;
- (2) todo elemento a tiene al menos una b inversa , en el sentido de que aba = a y bab = b .
Para ver la equivalencia de estas definiciones, primero suponga que S está definido por (2). Entonces b sirve como la x requerida en (1). Por el contrario, si S está definido por (1), entonces xax es un inverso de a , ya que a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a y ( xax ) a ( xax ) = x ( axa ) ( xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xax . [8]
El conjunto de inversas (en el sentido anterior) de un elemento a en un semigrupo arbitrario S se denota por V ( a ). [9] Por lo tanto, otra manera de expresar la definición (2) anterior es decir que en un semigrupo regular, V ( un ) es no vacío, para cada una en S . El producto de cualquier elemento a con cualquier b en V ( a ) es siempre idempotente : abab = ab , ya que aba = a . [10]
Ejemplos de semigrupos regulares
- Cada grupo es un semigrupo regular.
- Cada banda (semigrupo idempotente) es regular en el sentido de este artículo, aunque esto no es lo que se entiende por banda regular .
- El semigrupo bicíclico es regular.
- Cualquier semigrupo de transformación completa es regular.
- Un semigrupo de matriz de Rees es regular.
- La imagen homomórfica de un semigrupo regular es regular. [11]
Inversiones únicas y pseudoinversiones únicas
Un semigrupo regular en el que los idempotentes conmutan (con los idempotentes) es un semigrupo inverso , o lo que es lo mismo, cada elemento tiene un inverso único . Para ver esto, sea S un semigrupo regular en el que los idempotentes se desplazan al trabajo. Entonces cada elemento de S tiene al menos una inversa. Supongamos que una en S tiene dos inversos b y c , es decir,
- aba = a , bab = b , aca = a y cac = c . También ab , ba , ac y ca son idempotentes como antes.
Luego
- b = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac ) ( ab ) = bac ( ab ) ( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( aba ) bac = cabac = cac = c .
Entonces, al conmutar los pares de idempotentes ab & ac y ba & ca , se demuestra que el inverso de a es único. Por el contrario, se puede demostrar que cualquier semigrupo inverso es un semigrupo regular en el que los idempotentes se desplazan al trabajo. [12]
La existencia de un pseudoinverso único implica la existencia de un inverso único, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, en el semigrupo inverso simétrico , la transformación vacía Ø no tiene un pseudoinverso único, porque Ø = Ø f Ø para cualquier transformación f . Sin embargo, la inversa de Ø es única, porque solo una f satisface la restricción adicional de que f = f Ø f , es decir, f = Ø. Esta observación se cumple de manera más general en cualquier semigrupo con cero. Además, si cada elemento tiene un pseudoinverso único, entonces el semigrupo es un grupo y el pseudoinverso único de un elemento coincide con el inverso del grupo. [13]
Relaciones de Green
Recordemos que los principales ideales de un semigrupo S se definen en términos de S 1 , el semigrupo con identidad adjunta ; esto es para asegurar que un elemento a pertenece a los ideales principales de derecha, izquierda y bilateral que genera. En un semigrupo S regular , sin embargo, un elemento a = axa pertenece automáticamente a estos ideales, sin recurrir a una identidad contigua. Por lo tanto, las relaciones de Green se pueden redefinir para semigrupos regulares de la siguiente manera:
- si, y solo si, Sa = Sb ;
- si, y solo si, aS = bS ;
- si, y solo si, SaS = SbS . [14]
En un semigrupo S normal , cada- y -clase contiene al menos un idempotente . Si a es cualquier elemento de S y a ' es cualquier inverso de a , entonces a es-relacionado con a'a y-relacionado con aa ' . [15]
Teorema. Sea S un semigrupo regular; dejar que un y b ser elementos de S , y dejar que V (x) denota el conjunto de inversas de x en S . Luego
- si si existe a ' en V ( a ) y b' en V ( b ) tal que a'a = b'b ;
- si existe a ' en V ( a ) y b' en V ( b ) tal que aa ' = bb' ,
- si si existen a ' en V ( a ) y b' en V ( b ) tales que a'a = b'b y aa ' = bb' . [dieciséis]
Si S es un semigrupo inverso , entonces el idempotente en cada- y -la clase es única. [12]
Clases especiales de semigrupos regulares
Algunas clases especiales de semigrupos regulares son: [17]
- Semigrupos localmente inversos : un semigrupo S regular es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada idempotente e .
- Semigrupos ortodoxos : un semigrupo S regulares ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subgrupo.
- Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo S regular se denomina semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx para todos los idempotentes x , y , z .
La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos. [18]
Todos los semigrupos inversos son ortodoxos y localmente inversos. Las declaraciones contrarias no se sostienen.
Generalizaciones
- eventualmente semigrupo regular
- E -dense (también conocido como E -inversive) semigrupo
Ver también
- Conjunto biordado
- Clases especiales de semigrupos
- Orden de Nambooripad
Referencias
- ^ Howie 1995 p. 54
- ^ Howie 2002.
- ↑ von Neumann, 1936.
- ^ Christopher Hollings (16 de julio de 2014). Matemáticas a través del telón de acero: una historia de la teoría algebraica de los semigrupos . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 181. ISBN 978-1-4704-1493-1.
- ^ http://www.csd.uwo.ca/~gab/pubr.html
- ^ Jonathan S. Golan (1999). Álgebras de poder sobre semirings: con aplicaciones en matemáticas e informática . Springer Science & Business Media. pag. 104. ISBN 978-0-7923-5834-3.
- ^ Klip, Knauer y Mikhalev: p. 33
- ^ Clifford y Preston 2010 Lema 1.14.
- ^ Howie 1995 p. 52
- ^ Clifford y Preston 2010 p. 26
- ^ Howie 1995 Lema 2.4.4
- ^ a b Teorema 5.1.1 de Howie 1995
- ^ Prueba: https://planetmath.org/acharacterizationofgroups
- ^ Howie 1995 p. 55
- ^ Clifford y Preston 2010 Lema 1.13
- ^ Howie 1995 Proposición 2.4.1
- ^ Howie 1995 cap. 6, párrafo 2.4
- ^ Howie 1995 p. 222
Fuentes
- Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. La teoría algebraica de semigrupos . 2 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0272-4.
- Howie, John Mackintosh (1995). Fundamentos de la teoría del semigrupo (1ª ed.). Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-851194-6.
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de coronas y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 .
- JA Green (1951). "Sobre la estructura de los semigrupos". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 54 (1): 163-172. doi : 10.2307 / 1969317 . hdl : 10338.dmlcz / 100067 . JSTOR 1969317 .
- JM Howie, Semigroups, past, present and future, Actas de la Conferencia Internacional sobre Álgebra y sus Aplicaciones , 2002, 6–20.
- J. von Neumann (1936). "En anillos regulares" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de EE . UU . 22 (12): 707–713. doi : 10.1073 / pnas.22.12.707 . PMC 1076849 . PMID 16577757 .