Las coordenadas cilíndricas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de proyectar el sistema de coordenadas bipolares bidimensionales en la perpendicular.-dirección. Las dos líneas de focos y de los círculos apolíneos proyectados generalmente se consideran definidos por y , respectivamente, (y por ) en el sistema de coordenadas cartesianas .
El término "bipolar" se utiliza a menudo para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como elipses , hipérbolas y óvalos de Cassini . Sin embargo, el término coordenadas bipolares nunca se usa para describir coordenadas asociadas con esas curvas, por ejemplo, coordenadas elípticas .
Definición básica
La definición más común de coordenadas cilíndricas bipolares es
donde el coordenada de un punto es igual al ángulo y el coordenada es igual al logaritmo natural de la razón de las distancias y a las líneas focales
(Recuerde que las lneas focales y están ubicados en y , respectivamente.)
Superficies de constante corresponden a cilindros de diferentes radios
que todas pasan por las líneas focales y no son concéntricas. Las superficies de constante son cilindros que no se cruzan de diferentes radios
que rodean las líneas focales pero nuevamente no son concéntricas. Las líneas focales y todos estos cilindros son paralelos al-eje (la dirección de proyección). En el plano, los centros de la constante- y constante cilindros se encuentran en el y ejes, respectivamente.
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas bipolares y son iguales
mientras que el factor de escala restante . Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano está dado por
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Aplicaciones
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas bipolares permiten una separación de variables (en 2D). Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea a dos conductores cilíndricos paralelos.
Bibliografía
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