Un óvalo de Cassini es una curva plana cuártica definida como el conjunto (o lugar geométrico ) de puntos en el plano de manera que el producto de las distancias a dos puntos fijos es constante. Esto puede contrastarse con una elipse , para la cual la suma de las distancias es constante, en lugar del producto. Los óvalos de Cassini son el caso especial de lemniscates polinomiales cuando el polinomio utilizado tiene grado 2.
Los óvalos de Cassini llevan el nombre del astrónomo Giovanni Domenico Cassini que los estudió en 1680. [1] Cassini creía que el Sol viajaba alrededor de la Tierra en uno de estos óvalos, con la Tierra en un foco del óvalo. [ Cita requerida ] Otros nombres incluyen óvalos de Cassini , curvas de Cassini y óvalos de Cassini .
Definicion formal
- Un óvalo de Cassini es un conjunto de puntos, tal que para cualquier puntodel conjunto, el producto de las distancias a dos puntos fijos , es constante, generalmente denotado por :
Al igual que con una elipse, los puntos fijos se llaman los focos del óvalo de Cassini.
Ecuaciones
Si los focos son ( a , 0) y (- a , 0), entonces la ecuación de la curva es
Cuando se expande, esto se convierte en
La ecuación polar equivalente es
Forma
La curva depende, hasta la similitud, de e = b / a . Cuando e <1, la curva consta de dos bucles desconectados, cada uno de los cuales contiene un foco. Cuando e = 1, la curva es la lemniscata de Bernoulli que tiene la forma de un ocho de lado con un punto doble (específicamente, una cruzada ) en el origen. [2] [3] Cuando e > 1, la curva es un solo lazo conectado que encierra ambos focos. Tiene forma de maní para y convexo para . [4] El caso límite de a → 0 (por tanto, e →), en cuyo caso los focos coinciden entre sí, es un círculo .
La curva siempre tiene intersecciones x en ± c donde c 2 = a 2 + b 2 . Cuando e <1 hay dos adicionales reales x -intercepts y cuando e > 1 hay dos reales Y -intercepts, todos los demás x y y -intercepts ser imaginario. [5]
La curva tiene puntos dobles en los puntos circulares en el infinito , en otras palabras, la curva es bicircular . Estos puntos son biflecnodos, lo que significa que la curva tiene dos tangentes distintas en estos puntos y cada rama de la curva tiene un punto de inflexión allí. A partir de esta información y de las fórmulas de Plücker es posible deducir los números de Plücker para el caso e ≠ 1: grado = 4, clase = 8, número de nodos = 2, número de cúspides = 0, número de tangentes dobles = 8, número de puntos de inflexión = 12, género = 1. [6]
Las tangentes en los puntos circulares están dadas por x ± iy = ± a que tienen puntos reales de intersección en ( ± a , 0). Entonces los focos son, de hecho, focos en el sentido definido por Plücker. [7] Los puntos circulares son puntos de inflexión, por lo que son focos triples. Cuando e ≠ 1 la curva tiene clase ocho, lo que implica que debe haber un total de ocho focos reales. Seis de estos se han contabilizado en los dos focos triples y los dos restantes están en
Entonces, los focos adicionales están en el eje x cuando la curva tiene dos bucles y en el eje y cuando la curva tiene un solo bucle. [8]
Óvalos de Cassini y trayectorias ortogonales
Las trayectorias ortogonales de un lápiz dadode curvas son curvas que intersecan todas las curvas dadas ortogonalmente. Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de un lápiz de elipses confocales son las hipérbolas confocales con los mismos focos. Para los óvalos de Cassini, uno tiene:
- Las trayectorias ortogonales de las curvas de Cassini con focosson las hipérbolas equiláteras que contienen con el mismo centro que los óvalos de Cassini (ver imagen).
Prueba:
por simplicidad uno elige.
- Los óvalos de Cassini tienen la ecuación
- Las hipérbolas equiláteras (sus asíntotas son rectangulares) que contienen con centro puede ser descrito por la ecuación
Estas secciones cónicas no tienen puntos con el eje y en común y se cruzan con el eje x en . Sus discriminantes muestran que estas curvas son hipérbolas. Una investigación más detallada revela que las hipérbolas son rectangulares. Para obtener normales, que son independientes del parámetro la siguiente representación implícita es más conveniente:
Un simple cálculo muestra que para todos . Por lo tanto, los óvalos de Cassini y las hipérbolas se cruzan ortogonalmente.
Observación:
La imagen que muestra los óvalos de Cassini y las hipérbolas parece las curvas equipotenciales de dos cargas puntuales iguales junto con las líneas del campo eléctrico generado. Pero para el potencial de dos cargas puntuales iguales, uno tiene. (Ver curva implícita ).
Ejemplos de
La segunda lemniscata del conjunto de Mandelbrot es un óvalo de Cassini definido por la ecuación. Sus focos están en los puntos c del plano complejo que tienen órbitas donde cada segundo valor de z es igual a cero, que son los valores 0 y -1.
Óvalos de Cassini en tori
Los óvalos de Cassini aparecen como secciones planas de tori , pero solo cuando
- el plano de corte es paralelo al eje del toro y su distancia al eje es igual al radio del círculo generador (ver imagen).
La intersección del toro con la ecuación
y el avion rendimientos
Después de resolver parcialmente el primer corchete, se obtiene la ecuación
que es la ecuación de un óvalo de Cassini con parámetros .
Generalizaciones
El método de Cassini es fácil de generalizar a curvas y superficies con un conjunto arbitrario de puntos de definición:
describe en el caso plano una curva implícita y en el espacio tridimensional una superficie implícita .
curva con 3 puntos definitorios
superficie con 6 puntos definitorios
Ver también
Referencias
- Bibliografía
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover . págs. 5, 153-155 . ISBN 0-486-60288-5.
- RC Yates (1952). Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 8 y sigs.
- AB Basset (1901). Un tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuarticas . Londres: Deighton Bell and Co. págs. 162 y sigs.
- Lawden, DF, "Familias de óvalos y sus trayectorias ortogonales", Gaceta Matemática 83, noviembre de 1999, 410–420.
enlaces externos
- "Cassini oval" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Descripción de MacTutor
- Weisstein, Eric W. "Cassini Ovals" . MathWorld .
- Descripción de 2Dcurves.com
- "MacTutor Historia de las matemáticas" Curvas famosas