Matriz bisimétrica

Patrón de simetría de una matriz bisimétrica de 5 × 5

En matemáticas , una matriz bisimétrica es una matriz cuadrada que es simétrica con respecto a sus dos diagonales principales. Más precisamente, una matriz A n  ×  n es bisimétrica si satisface tanto A = A ^T como AJ = JA donde J es la matriz de intercambio n  ×  n .

Por ejemplo, cualquier matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}}$

es bisimétrico.

Propiedades

• Las matrices bisimétricas son tanto centrosimétricas simétricas como persimétricas simétricas .
• El producto de dos matrices bisimétricas es una matriz centrosimétrica.
• Las matrices bisimétricas de valor real son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios siguen siendo los mismos, aparte de los posibles cambios de signo que siguen a la multiplicación previa o posterior por la matriz de intercambio . ^[1]
• Si A es una matriz bisimétrica real con valores propios distintos, entonces las matrices que se conmutan con A deben ser bisimétricas. ^[2]
• La inversa de las matrices bisimétricas se puede representar mediante fórmulas de recurrencia. ^[3]

Referencias

1. Tao, David; Yasuda, Mark (2002). "Una caracterización espectral de matrices centrosimétricas simétricas reales generalizadas y matrices centrosimétricas asimétricas simétricas reales generalizadas" . Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 23 (3): 885–895. doi : 10.1137 / S0895479801386730 .
2. Yasuda, Mark (2012). "Algunas propiedades de las involuciones m de conmutación y anti-conmutación". Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631–644. doi : 10.1016 / S0252-9602 (12) 60044-7 .
3. Wang, Yanfeng; Lü, Feng; Lü, Weiran (10 de enero de 2018). "La inversa de matrices bisimétricas". Álgebra lineal y multilineal . 0 (3): 479–489. doi : 10.1080 / 03081087.2017.1422688 . ISSN 0308-1087 .