En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , una matriz centrosimétrica es una matriz que es simétrica con respecto a su centro. Más precisamente, una matriz n × n A = [ A i , j ] es centrosimétrica cuando sus entradas satisfacen
- A i , j = A n - i +1, n - j +1 para i , j ∊ {1,…, n }.
Si J denota la matriz de intercambio n × n con 1 en la antidiagonal y 0 en otra parte (es decir, J i , n + 1− i = 1; J i , j = 0 si j ≠ n + 1 - i ), entonces a la matriz A es centrosimétrica si y solo si AJ = JA .
Ejemplos de
- Todas las matrices centrosimétricas 2 × 2 tienen la forma
- Todas las matrices centrosimétricas 3 × 3 tienen la forma
- Las matrices simétricas de Toeplitz son centrosimétricas.
Estructura y propiedades algebraicas
- Si A y B son matrices centrosimétricos más de un campo F , entonces también lo son A + B y cA para cualquier c en F . Además, el producto de la matriz AB es centrosimétrico, ya que JAB = AJB = ABJ . Dado que la matriz de identidad también es centrosimétrica, se deduce que el conjunto de n × n matrices centrosimétricas sobre F es una subálgebra del álgebra asociativa de todas las n × n matrices.
- Si A es una matriz centrosimétrica con una base propia m -dimensional, entonces sus m autovectores pueden elegirse cada uno de modo que satisfagan x = Jx o x = - Jx .
- Si A es una matriz centrosimétrica con valores propios distintos, entonces las matrices que conmutan con A deben ser centrosimétricas. [1]
- El número máximo de elementos únicos en la matriz centrosimétrica am × m es .
Estructuras relacionadas
Se dice que una matriz A de n × n es centrosimétrica sesgada si sus entradas satisfacen A i , j = - A n - i +1, n - j +1 para i , j ∊ {1,…, n }. De manera equivalente, A es sesgo-centrosimétrico si AJ = - JA , donde J es la matriz de intercambio definida anteriormente.
La relación centrosimétrica AJ = JA se presta a una generalización natural, donde J se reemplaza con una matriz involutiva K (es decir, K 2 = I ) [2] [3] [4] o, más generalmente, una matriz K que satisface K m = I para un entero m > 1. [1] También se ha estudiado el problema inverso para la relación de conmutación AK = KA de identificar todos los K involutivos que conmutan con una matriz A fija . [1]
Las matrices centrosimétricas simétricas a veces se denominan matrices bisimétricas . Cuando el campo fundamental es el campo de los números reales , se ha demostrado que las matrices bisimétricas son precisamente aquellas matrices simétricas cuyos valores propios siguen siendo los mismos, aparte de los posibles cambios de signo que siguen a la multiplicación previa o posterior por la matriz de intercambio. [3] Un resultado similar es válido para las matrices centrosimétricas y centrosimétricas sesgadas de Hermitian . [5]
Referencias
- ↑ a b c Yasuda, Mark (2012). "Algunas propiedades de las involuciones m de conmutación y anti-conmutación". Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631–644. doi : 10.1016 / S0252-9602 (12) 60044-7 .
- ^ Andrew, Alan (1973). "Autovectores de determinadas matrices" . Álgebra Lineal Appl . 7 (2): 151-162. doi : 10.1016 / 0024-3795 (73) 90049-9 .
- ^ a b Tao, David; Yasuda, Mark (2002). "Una caracterización espectral de matrices centrosimétricas simétricas reales generalizadas y matrices centrosimétricas simétricas reales generalizadas" . SIAM J. Matrix Anal. Apl . 23 (3): 885–895. doi : 10.1137 / S0895479801386730 .
- ^ Trinchera, WF (2004). "Caracterización y propiedades de matrices con simetría generalizada o simetría sesgada" . Álgebra Lineal Appl . 377 : 207–218. doi : 10.1016 / j.laa.2003.07.013 .
- ^ Yasuda, Mark (2003). "Una caracterización espectral de las matrices K centrosimétricas hermitianas y sesgadas-centrosimétricas hermitianas". SIAM J. Matrix Anal. Apl . 25 (3): 601–605. doi : 10.1137 / S0895479802418835 .
Otras lecturas
- Muir, Thomas (1960). Un tratado sobre la teoría de los determinantes . Dover. pag. 19 . ISBN 0-486-60670-8.
- Weaver, James R. (1985). "Matrices centrosimétricas (simétricas cruzadas), sus propiedades básicas, valores propios y vectores propios". American Mathematical Monthly . 92 (10): 711–717. doi : 10.2307 / 2323222 . JSTOR 2323222 .
enlaces externos
- Matriz centrosimétrica en MathWorld .