En geometría convexa , el volumen de Mahler de un cuerpo convexo centralmente simétrico es una cantidad adimensional que está asociada con el cuerpo y es invariante bajo transformaciones lineales . Lleva el nombre del matemático alemán-inglés Kurt Mahler . Se sabe que las formas con el mayor volumen de Mahler posible son las bolas y elipsoides sólidos; esto ahora se conoce como la desigualdad de Blaschke-Santaló . La conjetura de Mahler, aún sin resolver, establece que un hipercubo alcanza el volumen mínimo posible de Mahler .
Definición
Un cuerpo convexo en el espacio euclidiano se define como un conjunto convexo compacto con un interior no vacío. Si B es un cuerpo convexo centralmente simétrico en el espacio euclidiano n- dimensional , el cuerpo polar B o es otro cuerpo centralmente simétrico en el mismo espacio, definido como el conjunto
El volumen de Mahler de B es el producto de los volúmenes de B y B o . [1]
Si T es una transformación lineal invertible, entonces; así, la aplicación de T a B cambia su volumen eny cambia el volumen de B o por. Por tanto, el volumen general de Mahler de B se conserva mediante transformaciones lineales.
Ejemplos de
El cuerpo polar de una esfera unitaria n- dimensional es en sí mismo otra esfera unitaria. Por lo tanto, su volumen de Mahler es solo el cuadrado de su volumen,
Aquí Γ representa la función Gamma . Por invariancia afín, cualquier elipsoide tiene el mismo volumen de Mahler. [1]
El cuerpo polar de un poliedro o politopo es su poliedro dual o politopo dual. En particular, el cuerpo polar de un cubo o hipercubo es un octaedro o politopo cruzado . Su volumen de Mahler se puede calcular como [1]
El volumen de Mahler de la esfera es mayor que el volumen de Mahler del hipercubo en un factor de aproximadamente . [1]
Formas extremas
¿El volumen de Mahler de un cuerpo convexo centralmente simétrico es siempre al menos el del hipercubo de la misma dimensión?
La desigualdad de Blaschke-Santaló establece que las formas con máximo volumen de Mahler son las esferas y elipsoides. El caso tridimensional de este resultado fue probado por Wilhelm Blaschke ; El resultado completo fue probado mucho más tarde por Luis Santaló ( 1949 ) utilizando una técnica conocida como simetrización de Steiner mediante la cual cualquier cuerpo convexo simétrico centralmente puede ser reemplazado por un cuerpo más esférico sin disminuir su volumen de Mahler. [1]
Las formas con el volumen mínimo conocido de Mahler son hipercubos , politopos cruzados y, más generalmente, los politopos de Hanner que incluyen estos dos tipos de formas, así como sus transformaciones afines. La conjetura de Mahler establece que el volumen de Mahler de estas formas es el más pequeño de cualquier cuerpo convexo simétrico n- dimensional; permanece sin resolver cuando. Como escribe Terry Tao : [1]
La razón principal por la que esta conjetura es tan difícil es que, a diferencia del límite superior, en el que esencialmente solo hay un extremisor hasta las transformaciones afines (es decir, la bola), hay muchos extremos distintos para el límite inferior, no solo el cubo y el octaedros, pero también productos de cubos y octaedros, cuerpos polares de productos de cubos y octaedros, productos de cuerpos polares de… bueno, ya entiendes la idea. Es realmente difícil concebir algún tipo de procedimiento de flujo u optimización que converja exactamente en estos cuerpos y no en otros; podría ser necesario un tipo de argumento radicalmente diferente.
Bourgain y Milman (1987) prueban que el volumen de Mahler está limitado por debajo por veces el volumen de una esfera para alguna constante absoluta , coincidiendo con el comportamiento de escala del volumen del hipercubo pero con una constante más pequeña. Kuperberg (2008) demuestra que, más concretamente, se puede tomaren este límite. Un resultado de este tipo se conoce como desigualdad Santaló inversa .
Resultados parciales
- El caso bidimensional de la conjetura de Mahler ha sido resuelto por Mahler (1939) y el caso tridimensional por Iriyeh & Shibata (2020) .
- Nazarov y col. (2010) demostraron que el cubo unitario es un minimizador local estricto para el volumen de Mahler en la clase de origen de cuerpos convexos simétricos dotados de la distancia de Banach-Mazur .
Para cuerpos asimétricos
El volumen de Mahler se puede definir de la misma manera, como el producto del volumen y el volumen polar, para cuerpos convexos cuyo interior contiene el origen independientemente de la simetría. Mahler conjeturó que, para esta generalización, el volumen mínimo se obtiene mediante un simplex , con su centroide en el origen. Al igual que con la conjetura simétrica de Mahler, se conocen desigualdades de Santaló inversas que muestran que el volumen mínimo está al menos dentro de un factor exponencial del simplex. [2]
Notas
- ↑ a b c d e f Tao (2007) .
- ^ Kuperberg (2008) .
Referencias
- Bourgain, Jean ; Milman, Vitali D. (1987). "Nuevas propiedades de relación de volumen para cuerpos simétricos convexos en". Inventiones Mathematicae . 88 (2): 319-340. Doi : 10.1007 / BF01388911 . MR 0880954 .
- Iriyeh, Hiroshi; Shibata, Masataka (2020). "Conjetura simétrica de Mahler para el producto de volumen en el caso tridimensional". Diario de matemáticas de Duke . 169 (6): 1077-1134. arXiv : 1706.01749 . doi : 10.1215 / 00127094-2019-0072 . Señor 4085078 .
- Kuperberg, Greg (2008). "De la conjetura de Mahler a las integrales de enlace de Gauss". Análisis geométrico y funcional . 18 (3): 870–892. arXiv : matemáticas / 0610904 . doi : 10.1007 / s00039-008-0669-4 . Señor 2438998 .
- Mahler, Kurt (1939). "Ein Minimalproblem für konvexe Polygone". Mathematica (Zutphen) B : 118-127.
- Nazarov, Fedor; Petrov, Fedor; Ryabogin, Dmitry; Zvavitch, Artem (2010). "Un comentario sobre la conjetura de Mahler: minimidad local del cubo unitario". Diario de matemáticas de Duke . 154 (3): 419–430. arXiv : 0905.0867 . doi : 10.1215 / 00127094-2010-042 . Señor 2730574 .
- Santaló, Luis A. (1949). "Un invariante afín para cuerpos convexos de-espacio dimensional ". Portugaliae Mathematica (en español). 8 : 155-161. MR 0039293 .
- Tao, Terence (8 de marzo de 2007). "Pregunta abierta: la conjetura de Mahler sobre cuerpos convexos" . Revisado y reimpreso en Tao, Terence (2009). "3.8 Conjetura de Mahler para cuerpos convexos". Estructura y aleatoriedad: páginas del primer año de un blog matemático . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 216–219. ISBN 978-0-8218-4695-7.