- Véase también conjunto polar (teoría del potencial) .
En análisis funcional y convexo , y disciplinas matemáticas relacionadas , el conjunto polar es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto de un espacio vectorial acostado en el espacio dual El bipolar de un subconjunto es el polar de pero se encuentra en (no ).
Definiciones
Hay al menos tres definiciones en competencia de lo polar de un conjunto, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo. [1] [ cita requerida ] En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un emparejamiento de espacios vectoriales sobre los números reales o complejos ( y son a menudo espacios vectoriales topológicos (TVS)).
Si es un espacio vectorial sobre el campo entonces, a menos que se indique lo contrario, por lo general, pero no siempre, será un espacio vectorial de funcionales lineales en y el emparejamiento dual será el mapa de evaluación bilineal ( en un punto ) definido por
Si es un espacio vectorial topológico, entonces el espaciopor lo general, pero no siempre, será el espacio dual continuo de en cuyo caso el emparejamiento dual volverá a ser el mapa de evaluación.
Denote la bola cerrada de radio centrado en el origen en el campo escalar subyacente de por
Definición analítica funcional
Polar absoluto
Suponer que es una pareja . El polar o polar absoluto de un subconjunto de es el conjunto:
dónde denota la imagen del conjunto debajo del mapa definido por Si denota el casco convexo equilibrado deque por definición es el subconjunto más pequeño convexo y equilibrado de eso contiene luego
Este es un cambio afín de la definición geométrica; tiene la útil caracterización de que el polar funcional-analítico de la bola unidad (en) es precisamente la bola unitaria (en ).
El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto de es el conjunto:
Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto de también se llama polar o polar absoluto de y denotado por ; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (como ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar".
El bipolar de un subconjunto de a menudo denotado por es el set ; es decir,
Real polar
El polar real de un subconjunto de es el conjunto:
y el prepolar real de un subconjunto de es el conjunto:
Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama polar real y también se denota por[2] Es importante tener en cuenta que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" para significar "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación para ello (en lugar de la notación que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]).
El bipolar real de un subconjunto de a veces denotado por es el set ; es igual a la-cierre del casco convexo de[2]
Para un subconjunto de es convexo, -cerrado y contiene [2] En general, es posible que pero la igualdad se mantendrá si está equilibrado . Además, dónde denota el casco equilibrado de[2]
Definiciones contrapuestas
La definición de lo "polar" de un conjunto no está universalmente acordada. Aunque este artículo definió "polar" para significar "polar absoluta", algunos autores definen "polar" para significar "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo defina un autor "polar", la notacióncasi siempre representa su elección de la definición (por lo que el significado de la notaciónpuede variar de una fuente a otra). En particular, el polar de a veces se define como:
donde la notación no es una notación estándar.
Ahora discutimos brevemente cómo estas diversas definiciones se relacionan entre sí y cuándo son equivalentes.
Siempre es el caso que
y si es de valor real (o de manera equivalente, si y son espacios vectoriales sobre ) luego
Si es simétrico (es decir o equivalente, ) luego donde si además es de valor real entonces
Si y son espacios vectoriales sobre (así que eso es de valor complejo) y si (donde tenga en cuenta que esto implica y ), luego
donde si además por todo real luego
Así, para todas estas definiciones del conjunto polar de para estar de acuerdo, basta con que para todos los escalares de unidad de longitud [nota 1] (donde esto es equivalente a para todos los escalares de longitud unitaria ). En particular, todas las definiciones del polar de estar de acuerdo cuando es un conjunto equilibrado (que es a menudo, pero no siempre, el caso) por lo que a menudo, cuál de estas definiciones en competencia se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones de lo "polar" de un conjunto a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando no está necesariamente equilibrado.
Especialización para la dualidad canónica
- Espacio dual algebraico
Si es cualquier espacio vectorial, entonces deja denotar el espacio dual algebraico deque es el conjunto de todos los funcionales lineales en El espacio vectorial es siempre un subconjunto cerrado del espacio de todo -funciones valoradas en bajo la topología de convergencia puntual, así que cuando está dotado de la topología subespacial, entonces se convierte en un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) completo de Hausdorff . Para cualquier subconjunto dejar
Si son subconjuntos entonces y dónde denota el casco convexo equilibrado de Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita de dejar denotar la topología euclidiana en que es la topología única que hace en un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS). Sidenota la unión de todos los cierres como varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de luego (ver esta nota a pie de página [nota 2] para una explicación). Si es un subconjunto absorbente de luego por el teorema de Banach-Alaoglu ,es un subconjunto débil * compacto de
Si es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial y si es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en (es decir, un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de) luego el mapa de valor real
- definido por
es un seminario sobre Si luego, por definición del supremo , para que el mapa definido anteriormente no tendría un valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma.
- Espacio dual continuo
Suponer que es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo El importante caso especial donde y los corchetes representan el mapa canónico:
ahora se considera. El triplees el llamado emparejamiento canónico asociado con
El polar de un subconjunto con respecto a este emparejamiento canónico es:
Para cualquier subconjunto dónde denota el cierre de en
El teorema de Banach-Alaoglu establece que si es un barrio del origen en luego y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo Cuándo está dotado de la topología débil * (también conocida como topología de convergencia puntual).
Si satisface para todos los escalares de longitud unitaria, entonces uno puede reemplazar los signos de valor absoluto por (el operador de la parte real) de modo que:
El prepolar de un subconjunto de es:
Si satisface para todos los escalares de longitud unitaria, entonces uno puede reemplazar los signos de valor absoluto con así que eso:
dónde
El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.
Si es un espacio normado y ¿Está la bola unitaria abierta o cerrada en (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contenga la bola unitaria abierta) entonces es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo Cuándo está dotado de su doble norma canónica .
Definición geométrica para conos
El cono polar de un cono convexo es el set
Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiendo este último como la intersección de dos semiespacios de orientación opuesta. El hiperplano polar de un punto es el lugar ; la relación dual para un hiperplano produce el punto polar de ese hiperplano. [3] [ cita requerida ]
Algunos autores (confusamente) llaman a un cono dual el cono polar; no seguiremos esa convención en este artículo. [4]
Propiedades
A menos que se diga lo contrario, será un emparejamiento . La topologiaes la topología débil- * en tiempo es la topología débil en Para cualquier conjunto denota el polar real de y denota el polar absoluto de El término "polar" se referirá al polar absoluto .
- El polar (absoluto) de un conjunto es convexo y equilibrado . [5]
- El verdadero polar de un subconjunto de es convexo pero no necesariamente equilibrado; será equilibrado si está equilibrado. [6]
- Si para todos los escalares de unidad de longitud entonces
- está cerrado enbajo la topología débil - * - en. [3]
- Un subconjunto de está débilmente acotado (es decir limitado) si y solo si está absorbiendo en. [2]
- Para un par doble dónde es un televisor y es su espacio dual continuo, si está limitado entonces está absorbiendo en[5] Si es localmente convexa y está absorbiendo en luego está delimitado en Además, un subconjunto de está débilmente acotado si y solo si está absorbiendo en
- El bipolar de un conjunto es el - casco convexo cerrado de que es el mas pequeño -conjunto cerrado y convexo que contiene ambos y
- Del mismo modo, el cono bidual de un cono es el -casco cónico cerrado de[7]
- Si es una base en el origen de un televisor luego [8]
- Si es un TVS localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a ) de cualquier base de vecindad 0 forma una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de (es decir, dado cualquier subconjunto acotado de existe un barrio del origen en tal que ). [6]
- Por el contrario, si es un TVS localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a ) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de Forman una base de vecindad del origen en [6]
- Dejar ser un TV con una topología Luego es una topología TVS localmente convexa si y solo si es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de [6] Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo juegan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre el espacio localmente convexotopología original.
- Establecer relaciones
- [6] y
- Para todos los escalares y por todo real y
- Sin embargo, para el polar real tenemos [6]
- Para cualquier colección finita de conjuntos
- Si luego y
- Un corolario inmediato es que ; la igualdad se cumple necesariamente cuando es finito y puede no sostenerse si es infinito.
- y
- Si es un cono en luego [5]
- Si es una familia de -subconjuntos cerrados de conteniendo entonces el verdadero polar de es el casco convexo cerrado de [6]
- Si luego [9]
- Para un cono convexo cerrado en un espacio vectorial real el cono polar es el polar de; es decir,
Ver también
- Teorema de Banach-Alaoglu : la bola unitaria cerrada en el dual de un espacio vectorial normalizado es compacta en la topología débil *
- Teorema bipolar - teorema en análisis convexo
- Cono polar
- Topología polar: topología de espacio dual de convergencia uniforme en algunas subconjuntos de subconjuntos delimitados
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Dado que para todas estas definiciones completas del conjunto polar estar de acuerdo, si tiene un valor real, entonces es suficiente para ser simétrico, mientras que si tiene un valor complejo, entonces es suficiente que por todo real
- ^ Para demostrar que dejar Si es un subespacio vectorial de dimensión finita de entonces porque es continuo (como ocurre con todos los funcionales lineales en un TVS de Hausdorff de dimensión finita), se sigue de y siendo un conjunto cerrado que La unión de todos estos conjuntos es, en consecuencia, también un subconjunto de lo que prueba que y entonces En general, si ¿Hay alguna topología de TVS en luego
Referencias
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- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 472.
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Bibliografía
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