En física y mecánica de fluidos , una capa límite de Blasius (llamada así por Paul Richard Heinrich Blasius ) describe la capa límite laminar bidimensional estable que se forma en una placa semi-infinita que se mantiene paralela a un flujo unidireccional constante. Más tarde, Falkner y Skan generalizaron la solución de Blasius al flujo en cuña ( capa límite de Falkner-Skan ), es decir, flujos en los que la placa no es paralela al flujo.
Ecuaciones de la capa límite de Prandtl
Un diagrama esquemático del perfil de flujo de Blasius. El componente de velocidad en sentido de la corriente se muestra, en función de la variable de similitud .
Usando argumentos de escala, Ludwig Prandtl [1] ha argumentado que aproximadamente la mitad de los términos en las ecuaciones de Navier-Stokes son despreciables en los flujos de la capa límite (excepto en una pequeña región cerca del borde de ataque de la placa). Esto conduce a un conjunto reducido de ecuaciones conocidas como ecuaciones de capa límite . Para un flujo constante incompresible con viscosidad y densidad constantes, estos dicen:
Continuidad:
-Impulso:
-Impulso:
Aquí el sistema de coordenadas se elige con apuntando paralelo a la placa en la dirección del flujo y el coordenada apuntando normal a la placa, y son los y componentes de velocidad, es la presión ,es la densidad yes la viscosidad cinemática .
La -La ecuación del momento implica que la presión en la capa límite debe ser igual a la del flujo libre para cualquier coordinar. Debido a que el perfil de velocidad es uniforme en la corriente libre, no hay vorticidad involucrada, por lo tanto, se puede aplicar una ecuación de Bernoulli simple en este límite de número de Reynolds alto. constante o, después de la diferenciación: Aquí es la velocidad del fluido fuera de la capa límite y es la solución de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) .
dónde es el esfuerzo cortante de la pared, es la velocidad de inyección / succión de la pared, es la tasa de disipación de energía, es el espesor del momento y es el espesor de energía.
Se han encontrado varias soluciones de similitud a esta ecuación para varios tipos de flujo, incluidas las capas límite de placa plana. El término similitud se refiere a la propiedad de que los perfiles de velocidad en diferentes posiciones en el flujo son los mismos, aparte de un factor de escala. Estas soluciones se presentan a menudo en forma de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.
Ecuación de Blasius: capa límite de primer orden
Blasius [2] propuso una solución de similitud para el caso en el que la velocidad de la corriente libre es constante,, que corresponde a la capa límite sobre una placa plana que está orientada paralela al flujo libre. Existe una solución auto-similar porque las ecuaciones y las condiciones de contorno son invariantes bajo la transformación
dónde es cualquier constante positiva. Introdujo las variables auto-similares
Desarrollo de la capa límite de Blasius (no a escala). El perfil de velocidad se muestra en rojo en las posiciones seleccionadas a lo largo de la placa. Las líneas azules representan, en orden de arriba hacia abajo, la línea de velocidad de flujo libre del 99% ( ), el espesor de desplazamiento ( ) y ( ). Consulte Grosor de la capa límite para obtener una explicación más detallada.
dónde es el espesor de la capa límite yes la función de flujo , en la que la función de flujo normalizada recién introducida,, es solo una función de la variable de similitud. Esto conduce directamente a los componentes de la velocidad.
Donde el primo denota derivación con respecto a . La sustitución en la ecuación de la cantidad de movimiento da la ecuación de Blasius
Las condiciones de contorno son la condición de no deslizamiento , la impermeabilidad de la pared y la velocidad de la corriente libre fuera de la capa límite.
Los parámetros apropiados para comparar con las observaciones experimentales son el espesor de desplazamiento , espesor de impulso esfuerzo cortante de la pared y fuerza de arrastre actuando sobre una longitud de la placa, que se dan para el perfil Blasius
El factor en la fórmula de la fuerza de arrastre es tener en cuenta ambos lados de la placa.
Singularidad de la solución Blasius
La solución de Blasius no es única desde una perspectiva matemática, [4] : 131 como lo señaló el propio Ludwig Prandtl en su teorema de transposición y analizado por una serie de investigadores como Keith Stewartson , Paul A. Libby . [5] A esta solución, se puede agregar cualquiera del conjunto discreto infinito de funciones propias, cada una de las cuales satisface la ecuación perturbada linealmente con condiciones homogéneas y decaimiento exponencial en el infinito. La primera de estas funciones propias resulta ser la derivada de la solución de Blasius de primer orden, que representa la incertidumbre en la ubicación efectiva del origen.
Capa límite de segundo orden
Esta aproximación de la capa límite predice una velocidad vertical distinta de cero lejos de la pared, que debe tenerse en cuenta en el siguiente orden de la capa invisible externa y la solución de la capa límite interna correspondiente, que a su vez predecirá una nueva velocidad vertical y así sucesivamente. La velocidad vertical en el infinito para el problema de la capa límite de primer orden de la ecuación de Blasius es
La solución para la capa límite de segundo orden es cero. La solución para la capa límite interna e invisible externa es [4] : 134
Nuevamente, como en el problema de límites de primer orden, se puede agregar a esta solución cualquiera del conjunto infinito de soluciones propias. En toda la solucionpuede considerarse como un número de Reynolds .
Capa límite de tercer orden
Dado que el problema interno de segundo orden es cero, las correcciones correspondientes al problema de tercer orden son nulas, es decir, el problema externo de tercer orden es el mismo que el problema externo de segundo orden. [4] : 139 La solución para la corrección de tercer orden no tiene una expresión exacta, pero la expansión de la capa límite interior tiene la forma,
dónde es la primera resolución propia de la solución de la capa límite de primer orden (que es derivada de la solución de Blasius de primer orden) y solución para no es único y el problema queda con una constante indeterminada.
Capa límite Blasius con succión
La succión es uno de los métodos comunes para posponer la separación de la capa límite. [6] Considere una velocidad de succión uniforme en la pared.. Bryan Thwaites [7] demostró que la solución para este problema es la misma que la solución Blasius sin succión para distancias muy cercanas al borde de ataque. Introduciendo la transformación
en las ecuaciones de la capa límite conduce a
con condiciones de contorno,
Transformación de von Mises
Iglisch obtuvo la solución numérica completa en 1944. [8] Si se introduce una transformación adicional de von Mises [9]
Dado que la convección debida a la succión y la difusión debida a la pared sólida actúan en la dirección opuesta, el perfil alcanzará una solución estable a gran distancia, a diferencia del perfil de Blasius donde la capa límite crece indefinidamente. La solución fue obtenida por primera vez por Griffith y FW Meredith . [10] Para distancias desde el borde de ataque de la placa, tanto el espesor de la capa límite como la solución son independientes de dada por
Stewartson [11] estudió la compatibilidad de la solución completa con el perfil de succión asintótico.
Capa límite de Blasius comprimible
Aquí la capa límite de Blasius con una entalpía específica especificadaen la pared se estudia. La densidad, viscosidad y conductividad térmica ya no son constantes aquí. La ecuación para la conservación de masa, momento y energía se convierte en
dónde es el número de Prandtl con sufijorepresentando propiedades evaluadas al infinito. Las condiciones de contorno se vuelven
,
.
A diferencia de la capa límite incompresible, la solución de similitud existe solo si la transformación
se mantiene y esto es posible solo si .
Transformación de Howarth
Capa límite de Blasius comprimible
Introducción de las variables auto-similares mediante la transformación de Howarth-Dorodnitsyn
las ecuaciones se reducen a
dónde es la relación de calor específico yes el número de Mach , dondees la velocidad del sonido . La ecuación se puede resolver una vezse especifican. Las condiciones de contorno son
Las expresiones comúnmente utilizadas para el aire son . Si es constante, entonces . La temperatura dentro de la capa límite aumentará aunque la temperatura de la placa se mantenga a la misma temperatura que la ambiente, debido al calentamiento disipativo y, por supuesto, estos efectos de disipación solo son pronunciados cuando el número de Mach es largo.
Capa límite de Blasius de primer orden en coordenadas parabólicas
Dado que las ecuaciones de la capa límite son ecuaciones diferenciales parciales parabólicas , las coordenadas naturales del problema son coordenadas parabólicas . [4] : 142 La transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas parabólicas es dado por
.
Ver también
Capa límite de Falkner-Skan
Problema de Emmons
enlaces externos
[1] - Traducción al inglés del artículo original de Blasius - Memorando técnico NACA 1256.
Notas al pie
^ Prandtl, L. (1904). "Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verhandlinger 3. Int. Matemáticas. Kongr. Heidelberg : 484–491.
^Blasius, H. (1908). "Grenzschichten en Flüssigkeiten mit kleiner Reibung". Z. Angew. Matemáticas. Phys . 56 : 1-37.
^Boyd, J. (2008). "La función de Blasius: los cálculos antes que los ordenadores, el valor de los trucos, los proyectos de pregrado y los problemas de investigación abiertos". SIAM Rev . 50 : 791–804.
^ a b c dVan Dyke, Milton (1975). Métodos de perturbación en mecánica de fluidos . Prensa parabólica. ISBN 9780915760015.
^ Libby, Paul A. y Herbert Fox. "Algunas soluciones de perturbación en la teoría de la capa límite laminar". Revista de mecánica de fluidos 17.3 (1963): 433-449.
^ Thwaites, Bryan. En ciertos tipos de flujo de capa límite con succión superficial continua. Oficina de papelería HM, 1946.
^ Iglisch, Rudolf. Exakte Berechnung der laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung. Oldenbourg, 1944.
^ Von Mises, Richard. "Bemerkungen zur hydrodynamik". Z. Angew. Matemáticas. Mech 7 (1927): 425-429.
^ Griffith, AA y FW Meredith. "La posible mejora en el rendimiento de la aeronave debido al uso de succión de capa límite". Informe de establecimiento de aeronaves reales n.o E 3501 (1936): 12.
^ Stewartson, K. "Sobre expansiones asintóticas en la teoría de capas límite". Estudios en Matemáticas Aplicadas 36.1-4 (1957): 173-191.
Referencias
Parlange, JY; Braddock, RD; Sander, G. (1981). "Aproximaciones analíticas a la solución de la ecuación de Blasius". Acta Mech . 38 (1-2): 119-125. Código Bibliográfico : 1981AcMec..38..119P . doi : 10.1007 / BF01351467 .
Pozrikidis, C. (1998). Introducción a la dinámica de fluidos teórica y computacional . Oxford. ISBN 978-0-19-509320-9.
Schlichting, H. (2004). Teoría de la capa límite . Saltador. ISBN 978-3-540-66270-9.
Wilcox, David C. Mecánica de fluidos básica DCW Industries Inc. 2007
Boyd, John P. (1999), "La función de Blasius en el plano complejo" , Experimental Mathematics , 8 (4): 381–394, doi : 10.1080 / 10586458.1999.10504626 , ISSN 1058-6458 , MR 1737233