En la física de la materia condensada , el teorema de Bloch establece que las soluciones a la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico toman la forma de una onda plana modulada por una función periódica . Matemáticamente, están escritos: [1]
dónde es posición, es la función de onda ,es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, el vector de onda es el vector de impulso de cristal ,es el número de Euler , yes la unidad imaginaria .
Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de electrones en sólidos cristalinos .
Nombrado en honor al físico suizo Felix Bloch , la descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominados electrones de Bloch (o menos a menudo Bloch Waves ), subyace al concepto de estructuras de bandas electrónicas .
Estos autoestados se escriben con subíndices como , dónde es un índice discreto, llamado índice de banda , que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismo (cada uno tiene un componente periódico diferente ). Dentro de una banda (es decir, para fijo), varía continuamente con , al igual que su energía. También,es único solo hasta un vector reticular recíproco constante, o, . Por lo tanto, el vector de ondapuede restringirse a la primera zona de Brillouin del enrejado recíproco sin pérdida de generalidad .
Aplicaciones y consecuencias
Aplicabilidad
El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de electrones en un cristal, especialmente al caracterizar las propiedades electrónicas del cristal, como la estructura de la banda electrónica . Sin embargo, una descripción de ondas de Bloch se aplica de manera más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en electromagnetismo conduce a cristales fotónicos , y un medio acústico periódico conduce a cristales fonónicos . Generalmente se trata en las diversas formas de la teoría dinámica de la difracción .
Vector de onda
Supongamos que un electrón está en estado Bloch.
donde u es periódico con la misma periodicidad que la red cristalina. El estado cuántico real del electrón está completamente determinado por, no k o u directamente. Esto es importante porque k y T son no único. Específicamente, sise puede escribir como arriba usando k , también se puede escribir usando ( k + K ), donde K es cualquier vector de red recíproco (ver figura a la derecha). Por tanto, los vectores de onda que se diferencian por un vector reticular recíproco son equivalentes, en el sentido de que caracterizan el mismo conjunto de estados de Bloch.
La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de k con la propiedad de que no hay dos de ellos equivalentes, sin embargo, cada k posible es equivalente a un (y solo uno) vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos k a la primera zona de Brillouin, entonces cada estado de Bloch tiene un k único . Por lo tanto, la primera zona de Brillouin se usa a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo, en una estructura de banda , y se usa por la misma razón en muchos cálculos.
Cuando k se multiplica por la constante de Planck reducida , es igual al momento cristalino del electrón . En relación con esto, la velocidad de grupo de un electrón se puede calcular basándose en cómo la energía de un estado de Bloch varía con k ; para obtener más detalles, consulte Crystal momentum .
Ejemplo detallado
Para obtener un ejemplo detallado en el que se resuelven las consecuencias del teorema de Bloch en una situación específica, consulte el artículo: Partícula en una red unidimensional (potencial periódico) .
Teorema de bloch
Aquí está el enunciado del teorema de Bloch:
- Para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las propiedades:
- Cada una de estas funciones de onda es un estado propio de energía
- Cada una de estas funciones de onda es un estado de Bloch, lo que significa que esta función de onda se puede escribir en la forma
- donde u tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal.
- Para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las propiedades:
Prueba del teorema
Preliminares: simetrías cristalinas, celosía y celosía recíproca
La propiedad definitoria de un cristal es la simetría de traslación, lo que significa que si el cristal se desplaza una cantidad adecuada, termina con todos sus átomos en los mismos lugares. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría de traslación perfecta, pero es una aproximación útil).
Un cristal tridimensional tiene tres vectores de celosía primitivos a 1 , a 2 , a 3 . Si el cristal se desplaza por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma
donde n i son tres números enteros, los átomos terminan en el mismo conjunto de ubicaciones en que comenzaron.
Otro ingrediente útil en la demostración son los vectores reticulares recíprocos . Estos son tres vectores b 1 , b 2 , b 3 (con unidades de longitud inversa), con la propiedad de que a i · b i = 2π, pero a i · b j = 0 cuando i ≠ j . (Para obtener la fórmula de b i , consulte el vector reticular recíproco ).
Lema sobre los operadores de traducción
Dejar denota un operador de traslación que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 (como antes, n j son números enteros). El siguiente hecho es útil para la demostración del teorema de Bloch:
- Lema: si es una función de onda es un estado propio de todos los operadores de traducción (simultáneamente), entonces es un estado de Bloch.
Prueba: suponga que tenemos una función de ondaque es un estado propio de todos los operadores de traducción. Como caso especial de esto,
para j = 1, 2, 3, donde C j son tres números (los valores propios ) que no dependen de r . Es útil escribir los números C j en una forma diferente, eligiendo tres números θ 1 , θ 2 , θ 3 con e 2 πiθ j = C j :
Nuevamente, los θ j son tres números que no dependen de r . Defina k = θ 1 b 1 + θ 2 b 2 + θ 3 b 3 , donde b j son los vectores reticulares recíprocos (ver arriba). Finalmente, defina
Luego
- .
Esto prueba que u tiene la periodicidad de la red. Desde, eso prueba que el estado es un estado de Bloch.
Prueba
Finalmente, estamos listos para la demostración principal del teorema de Bloch, que es la siguiente.
Como arriba, deja denota un operador de traslación que desplaza cada función de onda en la cantidad n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , donde n i son números enteros. Debido a que el cristal tiene simetría de traslación, este operador conmuta con el operador hamiltoniano . Además, todos los operadores de traducción se conmutan entre sí. Por lo tanto, existe una base propia simultánea del operador hamiltoniano y todas las posiblesoperador. Esta base es lo que buscamos. Las funciones de onda en esta base son autoestados de energía (porque son autoestados del hamiltoniano), y también son estados de Bloch (porque son autoestados de los operadores de traducción; ver Lema arriba).
Otra prueba
Definimos el operador de traducción
Usamos la hipótesis de un potencial periódico medio
y la aproximación de electrones independientes con un hamiltoniano
Dado que el hamiltoniano es invariante para las traducciones, se conmutará con el operador de traducción
y los dos operadores tendrán un conjunto común de funciones propias. Por lo tanto, comenzamos a mirar las funciones propias del operador de traducción:
Dado es un operador aditivo
Si sustituimos aquí la ecuación del valor propio y buceamos en ambos lados para tenemos
Esto es cierto para
dónde
si usamos la condición de normalización sobre una sola celda primitiva de volumen V
y por lo tanto
- y dónde
Finalmente
Lo cual es cierto para una ola de Bloch, es decir, para con
Prueba de teoría de grupos
Todas las traducciones son unitarias y abelianas . Las traducciones se pueden escribir en términos de vectores unitarios
Podemos pensar en estos como operadores de transporte
- dónde
La conmutatividad del Los operadores dan tres subgrupos cíclicos de conmutación (dado que pueden ser generados por un solo elemento) que son infinitos, unidimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreductibles de grupos abelianos son unidimensionales. [5]
Dado que son unidimensionales, la representación matricial y el carácter son los mismos. El carácter es la representación sobre los números complejos del grupo o también el rastro de la representación que en este caso es una matriz unidimensional. Todos estos subgrupos, dado que son cíclicos, tienen caracteres que son raíces de unidad adecuadas . De hecho tienen un generador que obedecerá a , y por lo tanto el personaje . Tenga en cuenta que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito, pero en el caso infinito contable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traducción aquí) hay un límite para donde el carácter permanece finito.
Dado que el carácter es una raíz de unidad, para cada subgrupo, el carácter se puede escribir como
Si introducimos la condición de límite de Born-von Karman en el potencial:
Donde L es una periodicidad macroscópica en la dirección que también puede verse como un múltiplo de dónde
Esto sustituyendo en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con un hamiltoniano efectivo simple
induce una periodicidad con la función de onda:
Y para cada dimensión, un operador de traducción con un período L
Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariante por una traducción de :
y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica:
dónde es un número entero y
El vector de onda identificar la representación irreductible de la misma manera que , y es una longitud periódica macroscópica del cristal en la dirección . En este contexto, el vector de onda sirve como número cuántico para el operador de traducción.
Podemos generalizar esto para 3 dimensiones.
y la fórmula genérica para la función de onda se convierte en:
es decir, especializándolo para una traducción
y hemos probado el teorema de Bloch.
Además de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta demostración es interesante porque queda claro cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son solo traducciones.
Esto generalmente se hace para los grupos espaciales que son una combinación de una traducción y un grupo de puntos y se usa para calcular la estructura de la banda, el espectro y los calores específicos de los cristales dada una simetría de grupos de cristales específicos como FCC o BCC y eventualmente una base adicional . [6] [7]
En esta prueba también es posible notar cómo es clave que el grupo de puntos extra sea impulsado por una simetría en el potencial efectivo pero deberá conmutar con el hamiltoniano.
En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable solo para grupos cíclicos y, por lo tanto, se traduce en una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres se dan de el grupo de puntos finito específico .
También aquí es posible ver cómo los personajes (como los invariantes de las representaciones irreductibles) pueden ser tratados como los bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreductibles en sí mismas. [8]
Velocidad y masa efectiva de los electrones de Bloch
Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch obtenemos
con condiciones de contorno
Dado que esto se define en un volumen finito, esperamos una familia infinita de valores propios, aquí es un parámetro del hamiltoniano y por lo tanto llegamos a una "familia continua" de valores propios depende del parámetro continuo y por lo tanto al concepto básico de una estructura de banda electrónica
Nos quedamos con
Esto muestra cómo el impulso efectivo puede verse como compuesto por dos partes
Un impulso estándar y un impulso de cristal . Más precisamente, la cantidad de movimiento del cristal no es una cantidad de movimiento, sino que está en la misma forma que la cantidad de movimiento electromagnético en el acoplamiento mínimo , y como parte de una transformación canónica de la cantidad de movimiento.
Para la velocidad efectiva podemos derivar
Evaluamos las derivadas y dado que son los coeficientes de la siguiente expansión en q donde q se considera pequeño con respecto a k
Dado son valores propios de Podemos considerar el siguiente problema de perturbación en q:
La teoría de la perturbación de segundo orden dice que:
Calcular en orden lineal en q
Donde las integraciones están sobre una celda primitiva o el cristal completo, dado si la integral:
se normaliza a través de la celda o el cristal.
Podemos simplificar sobre q y quedarnos con
Y podemos reinsertar las funciones de onda completas.
Y por la masa efectiva
El término de segundo orden
De nuevo con
Y deshacerse de y tenemos el teorema
La cantidad de la derecha multiplicada por un factor. se llama tensor de masa efectivo [11] y podemos usarlo para escribir una ecuación semiclásica para un portador de carga en una banda [12]
Dónde es una aceleración . Esta ecuación está en estrecha analogía con el tipo de aproximación de onda de De Broglie [13]
Como interpretación intuitiva, las dos últimas ecuaciones se parecen formalmente y están en una analogía semiclásica con la ecuación de newton en una fuerza de Lorentz externa .
El concepto del estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928, [14] para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, las mismas matemáticas subyacentes también fueron descubiertas de forma independiente varias veces: por George William Hill (1877), [15] Gaston Floquet (1883), [16] y Alexander Lyapunov (1892). [17] Como resultado, una variedad de nomenclaturas son comunes: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias , se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente el teorema de Lyapunov-Floquet ). La forma general de una ecuación de potencial periódica unidimensional es la ecuación de Hill : [18]
donde f (t) es un potencial periódico. Las ecuaciones periódicas unidimensionales específicas incluyen el modelo de Kronig-Penney y la ecuación de Mathieu .
Matemáticamente, el teorema de Bloch se interpreta en términos de caracteres unitarios de un grupo de celosía y se aplica a la geometría espectral . [19] [20] [21]
Ver también
- Oscilaciones de Bloch
- Onda de Bloch - Método MoM
- Estructura de banda electrónica
- Modelo de electrones casi libres
- Condiciones de contorno periódicas
- Simetrías en mecánica cuántica
- Modelo de encuadernación ajustada
- Función Wannier
Referencias
- ^ Kittel, Charles (1996). Introducción a la física del estado sólido . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-14286-7.
- ^ Ashcroft y Mermin 1976 , p. 134
- ^ Ashcroft y Mermin 1976 , p. 137
- ^ Dresselhaus 2002 , págs. 345-348 [1]
- ^ Teoría de la representación y Rick Roy 2010 [2]
- ^ Dresselhaus 2002 , págs. 365-367 [3]
- ^ El espectro vibratorio y el calor específico de un cristal cúbico centrado en la cara, Robert B. Leighton [4]
- ^ Representaciones de grupo y análisis armónico de Euler a Langlands, Parte II [5]
- ^ Ashcroft y Mermin 1976 , p. 140
- ↑ a b Ashcroft y Mermin , 1976 , p. 765 Apéndice E
- ^ Ashcroft y Mermin 1976 , p. 228
- ^ Ashcroft y Mermin 1976 , p. 229
- ^ Ashcroft y Mermin 1976 , p. 227
- ^ Felix Bloch (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (en alemán). 52 (7-8): 555-600. Código Bibliográfico : 1929ZPhy ... 52..555B . doi : 10.1007 / BF01339455 . S2CID 120668259 .
- ^ George William Hill (1886). "Por parte del movimiento del perigeo lunar que es función de los movimientos medios del sol y la luna" . Acta Math . 8 : 1–36. doi : 10.1007 / BF02417081 . Este trabajo se publicó y distribuyó inicialmente de forma privada en 1877.
- ^ Gaston Floquet (1883). "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. doi : 10.24033 / asens.220 .
- ^ Alexander Mihailovich Lyapunov (1992). El problema general de la estabilidad del movimiento . Londres: Taylor y Francis. Traducido por AT Fuller de la traducción francesa de Edouard Davaux (1907) de la disertación rusa original (1892).
- ^ Magnus, W ; Winkler, S (2004). Ecuación de Hill . Mensajero Dover. pag. 11. ISBN 0-486-49565-5.
- ^ Kuchment, P. (1982), Teoría de Floquet para ecuaciones diferenciales parciales , RUSS MATH SURV., 37,1-60
- ^ Katsuda, A .; Sunada, T (1987). "Homología y geodésicas cerradas en una superficie compacta de Riemann". Amer. J. Math . 110 (1): 145-156. doi : 10.2307 / 2374542 . JSTOR 2374542 .
- ^ Kotani M; Sunada T. (2000). "Mapas de Albanese y una asintótica de tiempo largo fuera de la diagonal para el núcleo de calor". Comm. Matemáticas. Phys . 209 (3): 633–670. Código Bibliográfico : 2000CMaPh.209..633K . doi : 10.1007 / s002200050033 . S2CID 121065949 .
Otras lecturas
- Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
- Dresselhaus, MS (2002). "Aplicaciones de la teoría de grupos a la física de sólidos" (PDF) . MIT . Archivado (PDF) desde el original el 1 de noviembre de 2019 . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .
- Dresselhaus, MS (2010). Teoría de grupos: aplicación a la física de la materia condensada . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC 692760083 .
- H. Föll. "Potenciales periódicos y teorema de Bloch - conferencias en" Semiconductores I " " . La Universidad de Kiel.
- MSP Eastham (1973). La teoría espectral de las ecuaciones diferenciales periódicas . Textos en Matemáticas. Edimburgo: Scottish Academic Press.
- J. Gazalet; S. Dupont; JC Kastelik; Q. Rolland y B. Djafari-Rouhani (2013). "Un estudio tutorial sobre ondas que se propagan en medios periódicos: Cristales electrónicos, fotónicos y fonónicos. Percepción del teorema de Bloch tanto en el dominio real como en el de Fourier". Movimiento ondulatorio . 50 (3): 619–654. doi : 10.1016 / j.wavemoti.2012.12.010 .