En la física del estado sólido, el momento o cuasimomento del cristal [2] es un vector similar al momento asociado con electrones en una red cristalina . Está definido por los vectores de onda asociados. de esta celosía, según
(dónde es la constante de Planck reducida ). [3] : 139 Con frecuencia [se necesita aclaración ] , el impulso del cristal se conserva como el impulso mecánico, lo que lo hace útil para los físicos y científicos de materiales como herramienta analítica.
Orígenes de la simetría de celosía
Un método común para modelar la estructura y el comportamiento del cristal es ver los electrones como partículas de la mecánica cuántica que viajan a través de un potencial periódico infinito fijo. tal que
dónde es un vector de celosía arbitrario . Tal modelo es sensato porque los iones de cristal que forman la estructura reticular son típicamente del orden de decenas de miles de veces más masivos que los electrones, [4] lo que hace que sea seguro reemplazarlos con una estructura de potencial fijo y las dimensiones macroscópicas de un Los cristales suelen ser mucho más grandes que un solo espaciado de celosía, lo que hace que los efectos de borde sean insignificantes. Una consecuencia de esta función de energía potencial es que es posible cambiar la posición inicial de un electrón por cualquier vector de red.sin cambiar ningún aspecto del problema, definiendo así una simetría discreta . Técnicamente, un potencial periódico infinito implica que el operador de traducción de celosía conmuta con el hamiltoniano , asumiendo una forma cinética más potencial simple. [3] : 134
Estas condiciones implican el teorema de Bloch , que establece
- ,
o que un electrón en una red, que puede modelarse como una función de onda de una sola partícula , encuentra sus soluciones de estado estacionario en forma de onda plana multiplicada por una función periódica . El teorema surge como consecuencia directa del hecho mencionado anteriormente de que el operador de traducción de la simetría de celosía conmuta con el hamiltoniano del sistema. [3] : 261–266 [5]
Uno de los aspectos notables del teorema de Bloch es que muestra directamente que las soluciones de estado estacionario pueden identificarse con un vector de onda , lo que significa que este número cuántico sigue siendo una constante de movimiento. El momento cristalino se define convencionalmente multiplicando este vector de onda por la constante de Planck:
Si bien esto es de hecho idéntico a la definición que se podría dar para el momento regular (por ejemplo, al tratar los efectos del operador de traslación por los efectos de una partícula en el espacio libre [6] ), existen importantes diferencias teóricas. Por ejemplo, mientras que el impulso regular se conserva por completo, el impulso del cristal solo se conserva dentro de un vector de red. Por ejemplo, un electrón puede describirse no solo por el vector de onda, pero también con cualquier otro vector de onda tal que
dónde es un vector reticular recíproco arbitrario . [3] : 218 Esto es una consecuencia del hecho de que la simetría de celosía es discreta en oposición a continua, y por lo tanto su ley de conservación asociada no se puede derivar usando el teorema de Noether .
Importancia física
La modulación de fase del estado de Bloch es el mismo que el de una partícula libre con momento , es decir da la periodicidad del estado, que no es la misma que la del enrejado. Esta modulación contribuye a la energía cinética de la partícula (mientras que la modulación es totalmente responsable de la energía cinética de una partícula libre).
En regiones donde la banda es aproximadamente parabólica, el momento del cristal es igual al momento de una partícula libre con momento. si asignamos a la partícula una masa efectiva que esté relacionada con la curvatura de la parábola.
Relación con la velocidad
El momento cristalino corresponde al concepto de velocidad medible físicamente de acuerdo con [3] : 141
Esta es la misma fórmula que la velocidad de grupo de una onda . Más específicamente, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , un electrón en un cristal no puede tener tanto una k exactamente definida como una posición exacta en el cristal. Sin embargo, puede formar un paquete de ondas centrado en el impulso k (con una ligera incertidumbre) y centrado en una determinada posición (con una ligera incertidumbre). La posición central de este paquete de ondas cambia a medida que la onda se propaga, moviéndose a través del cristal a la velocidad v dada por la fórmula anterior. En un cristal real, un electrón se mueve de esta manera, viajando en una dirección determinada a una velocidad determinada, durante un breve período de tiempo, antes de chocar con una imperfección en el cristal que hace que se mueva en una dirección diferente y aleatoria. Estas colisiones, llamadas dispersión de electrones , son causadas más comúnmente por defectos cristalográficos , la superficie del cristal y vibraciones térmicas aleatorias de los átomos en el cristal ( fonones ). [3] : 216
Respuesta a campos eléctricos y magnéticos.
El momento cristalino también juega un papel fundamental en el modelo semiclásico de la dinámica electrónica, donde obedece a las ecuaciones de movimiento (en unidades cgs): [3] : 218
Aquí quizás la analogía entre el momento cristalino y el momento real sea más poderosa, ya que estas son precisamente las ecuaciones a las que obedece un electrón del espacio libre en ausencia de cualquier estructura cristalina. El impulso cristalino también gana la oportunidad de brillar en este tipo de cálculos, ya que, para calcular la trayectoria de movimiento de un electrón usando las ecuaciones anteriores, solo es necesario considerar los campos externos, mientras se intenta el cálculo a partir de un conjunto de ecuaciones de movimiento basadas en El verdadero impulso requeriría tener en cuenta las fuerzas individuales de Coulomb y Lorentz de cada ión reticular además del campo externo.
Aplicaciones
Espectroscopía de fotoemisión resuelta en ángulo (ARPES)
En la espectroscopia de fotoemisión resuelta en ángulo (ARPES), irradiar luz en una muestra de cristal da como resultado la expulsión de un electrón del cristal. A lo largo del curso de la interacción, uno puede combinar los dos conceptos de cristal y el momento real y, por lo tanto, obtener un conocimiento directo de la estructura de la banda de un cristal. Es decir, el momento del cristal de un electrón dentro del cristal se convierte en su verdadero momento después de que se va, y el verdadero momento puede inferirse posteriormente a partir de la ecuación.
midiendo el ángulo y la energía cinética en la que el electrón sale del cristal, donde es la masa de un solo electrón. Debido a que la simetría del cristal en la dirección normal a la superficie del cristal se pierde en el límite del cristal, el impulso del cristal en esta dirección no se conserva. En consecuencia, las únicas direcciones en las que se pueden obtener datos útiles de ARPES son las direcciones paralelas a la superficie del cristal. [7]
Referencias
- ^ "Tema 5-2: Frecuencia de Nyquist y velocidad de grupo" (PDF) . Física del estado sólido en pocas palabras . Escuela de Minas de Colorado .
- ^ Gurevich VL; Thellung A. (octubre de 1990). "Cuasimomentum en la teoría de la elasticidad y su conversión". Physical Review B . 42 (12): 7345–7349. Código Bibliográfico : 1990PhRvB..42.7345G . doi : 10.1103 / PhysRevB.42.7345 .
- ^ a b c d e f g Neil Ashcroft ; David Mermin (1976). Física del estado sólido . Brooks / Cole Thomson Learning . ISBN 0-03-083993-9.
- ^ Peter J. Mohr; Barry N. Taylor (2004). "Los valores recomendados de CODATA 2002 de las constantes físicas fundamentales" .
- ^ JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison-Wesley. pag. 139. ISBN 0-201-53929-2.
- ^ Robert Littlejohn (2012). "Física 221a notas de clase 4: grados espaciales de libertad" .
- ^ Damascelli, Andrea; Zahid Hussain; Zhi-Xun Shen (2003). "Estudios de fotoemisión de ángulo resuelto de los superconductores de cuprato". Reseñas de Física Moderna . 75 (2): 473. arXiv : cond-mat / 0208504 . Código Bibliográfico : 2003RvMP ... 75..473D . doi : 10.1103 / RevModPhys.75.473 .