En física teórica , la transformación de Bogoliubov , también conocida como la transformación de Bogoliubov-Valatin , fue desarrollada independientemente en 1958 por Nikolay Bogolyubov y John George Valatin para encontrar soluciones de la teoría BCS en un sistema homogéneo. [1] [2] La transformación de Bogoliubov es un isomorfismo del álgebra de relaciones de conmutación canónica o del álgebra de relaciones de conmutación canónica . Esto induce una autoequivalencia en las respectivas representaciones. La transformación de Bogoliubov se usa a menudo para diagonalizar a los hamiltonianos, que produce las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger correspondiente . La transformación de Bogoliubov también es importante para comprender el efecto Unruh , la radiación de Hawking , los efectos de emparejamiento en física nuclear y muchos otros temas.
La transformación de Bogoliubov se utiliza a menudo para diagonalizar a los hamiltonianos, con la correspondiente transformación de la función estatal. Los valores propios del operador calculados con el hamiltoniano diagonalizado en la función de estado transformada son, por tanto, los mismos que antes.
Ejemplo de modo bosónico único
Considere la relación de conmutación canónica para los operadores bosónicos de creación y aniquilación en la base armónica
Definir un nuevo par de operadores
para números complejos u y v , donde el último es el conjugado hermitiano del primero.
La transformación de Bogoliubov es la transformación canónica que mapea a los operadores y a y . Para encontrar las condiciones en las constantes u y v tales que la transformación sea canónica, se evalúa el conmutador, a saber.
Entonces es evidente que es la condición por la cual la transformación es canónica.
Dado que la forma de esta condición sugiere la identidad hiperbólica
- ,
las constantes u y v se pueden parametrizar fácilmente como
Esto se interpreta como una transformación simpléctica lineal del espacio de fase . Comparando con la descomposición de Bloch-Mesías , los dos ángulos y corresponden a las transformaciones simplécticas ortogonales (es decir, rotaciones) y al factor de compresión corresponde a la transformación diagonal.
Aplicaciones
La aplicación más destacada es la del propio Nikolai Bogoliubov en el contexto de la superfluidez . [3] [4] Otras aplicaciones comprenden hamiltonianos y excitaciones en la teoría del antiferromagnetismo . [5] Al calcular la teoría cuántica de campos en espacio-tiempos curvos, la definición del vacío cambia y una transformación de Bogoliubov entre estos diferentes vacíos es posible. Esto se utiliza en la derivación de la radiación de Hawking . Las transformadas de Bogoliubov también se utilizan ampliamente en óptica cuántica, particularmente cuando se trabaja con unitarios gaussianos (como divisores de haz, desplazadores de fase y operaciones de compresión).
Modo fermiónico
Para las relaciones anticonmutación
la transformación de Bogoliubov está limitada por . Por lo tanto, la única posibilidad no trivial escorrespondiente al intercambio partícula-antipartícula (o intercambio partícula-orificio en sistemas de muchos cuerpos) con la posible inclusión de un cambio de fase. Por lo tanto, para una sola partícula, la transformación solo se puede implementar (1) para un fermión de Dirac donde la partícula y la antipartícula son distintas (a diferencia de un fermión de Majorana o fermión quiral ) o (2) para sistemas multifermiónicos, en los que es más de un tipo de fermión.
Aplicaciones
La aplicación más destacada es nuevamente del propio Nikolai Bogoliubov, esta vez para la teoría de superconductividad BCS . [5] [6] [7] [8] El punto donde la necesidad de realizar una transformada de Bogoliubov se vuelve obvia es que en la aproximación de campo medio, el hamiltoniano del sistema se puede escribir en ambos casos como una suma de términos bilineales en el operadores originales de creación y destrucción, que involucran finitos-términos, es decir, hay que ir más allá del método habitual de Hartree-Fock . En particular, en el formalismo de campo medio de Bogoliubov-de Gennes hamiltoniano con un término de emparejamiento superconductor como, los operadores transformados de Bogoliubov aniquilar y crear cuasipartículas (cada una con energía, momento y espín bien definidos, pero en una superposición cuántica de electrones y estados huecos), y tienen coeficientes y dado por vectores propios de la matriz de Bogoliubov-de Gennes. También en física nuclear , este método es aplicable ya que puede describir la "energía de apareamiento" de los nucleones en un elemento pesado. [9]
Ejemplo multimodo
El espacio de Hilbert en consideración está equipado con estos operadores y, en adelante, describe un oscilador armónico cuántico de dimensiones superiores (generalmente uno de dimensión infinita).
El estado fundamental del hamiltoniano correspondiente es aniquilado por todos los operadores de aniquilación:
Todos los estados excitados se obtienen como combinaciones lineales del estado fundamental excitado por algunos operadores de creación :
Se pueden redefinir los operadores de creación y aniquilación mediante una redefinición lineal:
donde los coeficientes deben satisfacer ciertas reglas para garantizar que los operadores de aniquilación y los operadores de creación , definidos por la ecuación conjugada de Hermitian , tienen los mismos conmutadores para bosones y anticonmutadores para fermiones.
La ecuación anterior define la transformación de Bogoliubov de los operadores.
El estado fundamental aniquilado por todos es diferente del estado fundamental original y pueden verse como las transformaciones de Bogoliubov entre sí utilizando la correspondencia operador-estado. También se pueden definir como estados coherentes comprimidos . La función de onda BCS es un ejemplo de estado coherente comprimido de fermiones. [10]
Referencias
- ^ Valatin, JG (marzo de 1958). "Comentarios sobre la teoría de la superconductividad". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843–857. Código bibliográfico : 1958NCim .... 7..843V . doi : 10.1007 / bf02745589 .
- ^ Bogoljubov, NN (marzo de 1958). "Sobre un nuevo método en la teoría de la superconductividad". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 794–805. Código bibliográfico : 1958NCim .... 7..794B . doi : 10.1007 / bf02745585 .
- ^ NN Bogoliubov: Sobre la teoría de la superfluidez , J. Phys. (URSS), 11, pág. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).
- ^ Bogolubov [sic], N. "Sobre la teoría de la superfluidez" (PDF) . Avances de las Ciencias Físicas . Instituto de Física Lebedev . Consultado el 27 de abril de 2017 .
- ^ a b Véase, por ejemplo, el libro de texto de Charles Kittel : Teoría cuántica de sólidos , Nueva York, Wiley 1987.
- ^ Boboliubov, NN (1 de enero de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad. Yo". Física soviética (URSS) JETP . 7 (1): 41–46.
- ^ Bogoliubov, NN (julio de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad III" (PDF) . Física soviética (URSS) JETP . 34 (7): 51–55.
- ^ Bogolyubov, NN; Tolmachev, VV; Shirkov, DV (noviembre de 1958). "Un nuevo método en la teoría de la superconductividad". Fortschitte der Physik . 6 (11-12): 605-682. Código Bibliográfico : 1958ForPh ... 6..605B . doi : 10.1002 / prop.19580061102 .
- ^ Strutinsky, VM (abril de 1967). "Efectos de la cáscara en masas nucleares y energías de deformación". Física Nuclear A . 95 (2): 420–442. Código Bibliográfico : 1967NuPhA..95..420S . doi : 10.1016 / 0375-9474 (67) 90510-6 .
- ^ Svozil, K. (1990), "Estados de fermiones exprimidos", Phys. Rev. Lett. 65 , 3341-3343. doi : 10.1103 / PhysRevLett.65.3341
Otras lecturas
Todo el tema, y muchas aplicaciones definidas, se tratan en los siguientes libros de texto:
- Blaizot, J.-P .; Ripka, G. (1985). Teoría cuántica de sistemas finitos . Prensa del MIT. ISBN 0-262-02214-1.
- Fetter, A .; Walecka, J. (2003). Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas . Dover. ISBN 0-486-42827-3.
- Kittel, Cap. (1987). Teoría cuántica de sólidos . Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
- Wagner, M. (1986). Transformaciones unitarias en física del estado sólido . Ciencia de Elsevier. ISBN 0-444-86975-1.