En matemáticas, una matriz simpléctica es una matriz con entradas reales que satisfagan la condición
( 1 )
dónde denota la transposición de y es un fijo matriz no singular , sesgada-simétrica . Esta definición puede extenderse amatrices con entradas en otros campos , como los números complejos , los campos finitos , los números p -ádicos y los campos de función .
Típicamente se elige para ser la matriz de bloques
Propiedades
Generadores de matrices simplécticas
Toda matriz simpléctica tiene un determinante , y el Las matrices simplécticas con entradas reales forman un subgrupo del grupo lineal general. bajo la multiplicación de matrices ya que ser simpléctico es una propiedad estable bajo la multiplicación de matrices. Topológicamente , este grupo simpléctico es un grupo de Lie real no compacto conectado de dimensión real , y se denota . El grupo simpléctico se puede definir como el conjunto de transformaciones lineales que preservan la forma simpléctica de un espacio vectorial simpléctico real .
Este grupo simpléctico tiene un conjunto distinguido de generadores, que se pueden utilizar para encontrar todas las matrices simplécticas posibles. Esto incluye los siguientes conjuntos
Matriz inversa
Toda matriz simpléctica es invertible con la matriz inversa dada por
Propiedades determinantes
De la definición se deduce fácilmente que el determinante de cualquier matriz simpléctica es ± 1. En realidad, resulta que el determinante siempre es +1 para cualquier campo. Una forma de ver esto es mediante el uso del Pfaffian y la identidad
Cuando el campo subyacente es real o complejo, también se puede mostrar factorizando la desigualdad . [2]
Forma de bloque de matrices simplécticas
Suponga que Ω se da en la forma estándar y sea ser un matriz de bloques dada por
dónde están matrices. La condición paraser simpléctico es equivalente a las dos siguientes condiciones equivalentes [3]
simétrico y
simétrico y
Cuándo estas condiciones se reducen a una sola condición . Por lo tanto, unLa matriz es simpléctica si tiene un determinante unitario.
Matriz inversa de matriz de bloques
Con en forma estándar, la inversa de es dado por
Transformaciones simplécticas
En la formulación abstracta del álgebra lineal , las matrices se reemplazan con transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión finita . El análogo abstracto de una matriz simpléctica es una transformación simpléctica de un espacio vectorial simpléctico . Brevemente, un espacio vectorial simpléctico es un -espacio vectorial dimensional equipado con un no degenerado , antisimétrica forma bilineal llamada forma simpléctica .
Una transformación simpléctica es entonces una transformación lineal. que conserva , es decir
Fijando una base para, se puede escribir como una matriz y como una matriz . La condición queser una transformación simpléctica es precisamente la condición de que M sea una matriz simpléctica:
Bajo un cambio de base , representado por una matriz A , tenemos
Uno siempre puede traer ya sea a la forma estándar dado en la introducción o la forma diagonal bloque se describe a continuación mediante una elección adecuada de A .
La matriz Ω
Las matrices simplécticas se definen en relación con una matriz no singular , simétrica sesgada y fija. . Como se explicó en la sección anterior,se puede considerar como la representación de coordenadas de una forma bilineal simétrica sesgada no degenerada . Es un resultado básico en álgebra lineal que dos de tales matrices se diferencian entre sí por un cambio de base .
La alternativa más común al estándar dado arriba es la forma diagonal del bloque
Esta elección se diferencia de la anterior por una permutación de vectores base .
A veces la notación se usa en lugar de para la matriz simétrica sesgada. Esta es una elección particularmente desafortunada, ya que conduce a la confusión con la noción de una estructura compleja , que a menudo tiene la misma expresión de coordenadas quepero representa una estructura muy diferente. Una estructura compleja es la representación de coordenadas de una transformación lineal que cuadra a , mientras que es la representación de coordenadas de una forma bilineal simétrica sesgada no degenerada. Uno podría elegir fácilmente bases en las que no es simétrico sesgado o no cuadra con .
Dada una estructura hermitiana en un espacio vectorial, y están relacionados a través de
dónde es la métrica . Que y por lo general tienen la misma expresión de coordenadas (hasta un signo general) es simplemente una consecuencia del hecho de que la métrica g suele ser la matriz de identidad.
Diagonalización y descomposición
- Para cualquier matriz simétrica simétrica real simétrica definida positiva S existe U en U (2 n , R ) tal que
donde los elementos diagonales de D son los valores propios de S . [4]
- Cualquier matriz simpléctica real S tiene una descomposición polar de la forma: [4]
- Cualquier matriz simpléctica real se puede descomponer como un producto de tres matrices:
( 2 )
tal que O y O ' son simplécticos y ortogonales y D es positivo-definido y diagonal . [5] Esta descomposición está estrechamente relacionada con la descomposición en valor singular de una matriz y se conoce como descomposición de 'Euler' o 'Bloch-Mesías'.
Matrices complejas
Si, en cambio, M es una matriz de 2 n × 2 n con entradas complejas , la definición no es estándar en toda la literatura. Muchos autores [6] ajustan la definición anterior a
( 3 )
donde M * denota la transpuesta conjugada de M . En este caso, el determinante puede no ser 1, pero tendrá valor absoluto 1. En el caso 2 × 2 ( n = 1), M será el producto de una matriz simpléctica real y un número complejo de valor absoluto 1.
Otros autores [7] retienen la definición ( 1 ) para matrices complejas y llaman a matrices satisfactorias ( 3 ) simplécticas conjugadas .
Aplicaciones
Las transformaciones descritas por matrices simplécticas juegan un papel importante en la óptica cuántica y en la teoría de la información cuántica de variable continua . Por ejemplo, las matrices simplécticas se pueden utilizar para describir las transformaciones gaussianas (Bogoliubov) de un estado cuántico de luz. [8] A su vez, la descomposición de Bloch-Mesías ( 2 ) significa que una transformación gaussiana arbitraria puede representarse como un conjunto de dos interferómetros ópticos lineales pasivos (correspondientes a matrices ortogonales O y O ' ) intervenidos por una capa de transformaciones de compresión no lineales (expresadas en términos de la matriz D ). [9] De hecho, se puede eludir la necesidad de tales transformaciones de compresión activa en línea si los estados de vacío comprimido de dos modos están disponibles solo como recurso previo. [10]
Ver también
- espacio vectorial simpléctico
- grupo simpléctico
- representación simpléctica
- matriz ortogonal
- matriz unitaria
- Mecánica hamiltoniana
- Estructura compleja lineal
Referencias
- ^ Habermann, Katharina, 1966- (2006). Introducción a los operadores simplécticos de Dirac . Saltador. ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC 262692314 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Rim, Donsub (2017). "Una prueba elemental de que las matrices simplécticas tienen un determinante". Adv. Dyn. Syst. Apl . 12 (1): 15-20. arXiv : 1505.04240 . Código Bib : 2015arXiv150504240R . doi : 10.37622 / ADSA / 12.1.2017.15-20 .
- ^ de Gosson, Maurice. "Introducción a la mecánica simpléctica: Conferencias I-II-III" (PDF) .
- ^ a b de Gosson, Maurice A. (2011). Métodos simplécticos en análisis armónico y en física matemática - Springer . doi : 10.1007 / 978-3-7643-9992-4 . ISBN 978-3-7643-9991-7.
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- ^ Xu, HG (15 de julio de 2003). "Una descomposición matricial similar a la SVD y sus aplicaciones". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 368 : 1–24. doi : 10.1016 / S0024-3795 (03) 00370-7 . hdl : 1808/374 .
- ^ Mackey, DS; Mackey, N. (2003). "Sobre el determinante de matrices simplécticas". Informe de análisis numérico. 422 . Manchester, Inglaterra: Centro de Matemáticas Computacionales de Manchester. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J .; Ralph, Timothy C .; Shapiro, Jeffrey H .; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bibliográfico : 2012RvMP ... 84..621W . doi : 10.1103 / RevModPhys.84.621 .
- ^ Braunstein, Samuel L. (2005). "Exprimir como recurso irreductible". Physical Review A . 71 (5): 055801. arXiv : quant-ph / 9904002 . Código bibliográfico : 2005PhRvA..71e5801B . doi : 10.1103 / PhysRevA.71.055801 .
- ^ Chakhmakhchyan, Levon; Cerf, Nicolas (2018). "Simulación de circuitos gaussianos arbitrarios con óptica lineal". Physical Review A . 98 (6): 062314. arXiv : 1803.11534 . Código bibliográfico : 2018PhRvA..98f2314C . doi : 10.1103 / PhysRevA.98.062314 .