En matemáticas , un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial V sobre un campo F (por ejemplo, los números reales R ) equipado con una forma bilineal simpléctica .
Una forma bilineal simpléctica es un mapeo ω : V × V → F que es
- bilineal : lineal en cada argumento por separado,
- alternando : ω ( v , v ) = 0 es válido para todo v ∈ V , y
- no degenerado : ω ( u , v ) = 0 para todo v ∈ V implica que u es cero.
Si el campo subyacente tiene la característica no 2, la alternancia es equivalente a la simetría sesgada . Si la característica es 2, la simetría sesgada está implícita, pero no implica alternancia. En este caso, toda forma simpléctica es una forma simétrica , pero no al revés.
Trabajar en un fijo base , ω puede ser representado por una matriz . Las condiciones anteriores son equivalentes a que esta matriz sea asimétrica , no singular y hueca . Esto no debe confundirse con una matriz simpléctica , que representa una transformación simpléctica del espacio. Si V es de dimensión finita , entonces su dimensión debe ser necesariamente par, ya que toda matriz hueca, asimétrica y de tamaño impar, tiene un determinante cero. Observe que la condición de que la matriz sea hueca no es redundante si la característica del campo es 2. Una forma simpléctica se comporta de manera muy diferente a una forma simétrica , por ejemplo, el producto escalar en espacios vectoriales euclidianos.
Espacio simpléctico estándar
El espacio simpléctico estándar es R 2 n con la forma simpléctica dada por un no singular , matriz antisimétrica . Por lo general, se elige ω para ser la matriz de bloques
donde I n es la matriz identidad n × n . En términos de vectores base ( x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n ) :
Una versión modificada del proceso de Gram-Schmidt muestra que cualquier espacio vectorial simpléctico de dimensión finita tiene una base tal que ω toma esta forma, a menudo llamada base Darboux o base simpléctica .
Hay otra forma de interpretar esta forma simpléctica estándar. Dado que el espacio modelo R 2 n utilizado anteriormente tiene mucha estructura canónica que fácilmente podría conducir a una mala interpretación, usaremos espacios vectoriales "anónimos" en su lugar. Deje V un espacio vectorial real de dimensión n y V * su espacio dual . Ahora considere la suma directa W = V ⊕ V ∗ de estos espacios equipados con la siguiente forma:
Ahora elija cualquier base ( v 1 , ..., v n ) de V y considere su base dual
Podemos interpretar que los vectores base están en W si escribimos x i = ( v i , 0) y y i = (0, v i ∗ ) . Tomados en conjunto, estos forman una base completa de W ,
Se puede mostrar que el formulario ω definido aquí tiene las mismas propiedades que al principio de esta sección. Por otro lado, toda estructura simpléctica es isomorfa a una de la forma V ⊕ V ∗ . El subespacio V no es único y la elección del subespacio V se denomina polarización . Los subespacios que dan tal isomorfismo se denominan subespacios lagrangianos o simplemente lagrangianos .
Explícitamente, dado un subespacio lagrangiano (como se define a continuación), entonces una elección de base ( x 1 , ..., x n ) define una base dual para un complemento, por ω ( x i , y j ) = δ ij .
Analogía con estructuras complejas
Así como cada estructura simpléctica es isomorfo a una de la forma V ⊕ V * , cada complejo de estructura en un espacio de vector es isomorfo a una de la forma V ⊕ V . Usando estas estructuras, el paquete tangente de un n- múltiple, considerado como un 2 n- múltiple, tiene una estructura casi compleja , y el paquete co tangente de un n- múltiple, considerado como un 2 n- múltiple, tiene una estructura simpléctica : T ∗ ( T ∗ M ) p = T p ( M ) ⊕ ( T p ( M )) ∗ .
El análogo de complejo a un subespacio de Lagrange es un verdadero subespacio , un subespacio cuyo complejización es todo el espacio: W = V ⊕ J V . Como se puede ver en la forma simpléctica estándar anterior, cada forma simpléctica en R 2 n es isomórfica a la parte imaginaria del producto interno del complejo estándar (hermitiano) en C n (con la convención del primer argumento que es antilineal ).
Forma de volumen
Sea ω una forma bilineal alterna en un espacio vectorial real n- dimensional V , ω ∈ Λ 2 ( V ) . Entonces ω no es degenerado si y solo si n es par y ω n / 2 = ω ∧ ... ∧ ω es una forma de volumen . Una forma de volumen en un n espacio vectorial dimensional V es un no-cero múltiplo de la n -form e 1 * ∧ ... ∧ e n * donde e 1 , e 2 , ..., e n es una base de V .
Para la base estándar definida en la sección anterior, tenemos
Al reordenar, se puede escribir
Los autores definen de diversas formas ω n o (−1) n / 2 ω n como la forma de volumen estándar . ¡Un factor ocasional de n ! también puede aparecer, dependiendo de si la definición del producto alterno contiene un factor de n ! o no. La forma de volumen define una orientación en el espacio vectorial simpléctico ( V , ω ) .
Mapa simpléctico
Suponga que ( V , ω ) y ( W , ρ ) son espacios vectoriales simplécticos. Entonces, un mapa lineal f : V → W se llama mapa simpléctico si el retroceso conserva la forma simpléctica, es decir, f ∗ ρ = ω , donde la forma del retroceso se define por ( f ∗ ρ ) ( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v )) . Los mapas simplécticos conservan el volumen y la orientación.
Grupo simpléctico
Si V = W , a continuación, un mapa simpléctico se denomina transformación simpléctica lineal de V . En particular, en este caso se tiene que ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , por lo que la transformación lineal f conserva la forma simpléctica. El conjunto de todas las transformaciones simplécticas forma un grupo y, en particular, un grupo de Lie , llamado grupo simpléctico y denotado por Sp ( V ) o, a veces, Sp ( V , ω ) . En forma matricial, las transformaciones simplécticas vienen dadas por matrices simplécticas .
Subespacios
Deje que W sea un subespacio vectorial de V . Definir el complemento simpléctico de W para que sea el subespacio
El complemento simpléctico satisface:
Sin embargo, a diferencia de los complementos ortogonales , W ⊥ ∩ W no necesita ser 0. Distinguimos cuatro casos:
- W es simpléctico si W ⊥ ∩ W = {0 }. Esto es cierto si y sólo si omega restringe a una forma degenerada de W . Un subespacio simpléctico con la forma restringida es un espacio vectorial simpléctico por derecho propio.
- W es isótropo si W ⊆ W ⊥ . Esto es cierto si y sólo si omega restringe a 0 en W . Cualquier subespacio unidimensional es isótropo.
- W es coisotropic si W ⊥ ⊆ W . W es coisotrópico si y solo si ω desciende a una forma no degenerada en el espacio del cociente W / W ⊥ . De manera equivalente, W es coisotrópico si y solo si W ⊥ es isotrópico. Cualquier codimensión -un subespacio es coisotrópica.
- W es lagrangiano si W = W ⊥ . Un subespacio es lagrangiano si y solo si es tanto isotrópico como coisotrópico. En un espacio vectorial de dimensión finita, un subespacio de Lagrange es un uno isotrópica cuya dimensión es la mitad del de V . Cada subespacio isotrópico puede extenderse a uno lagrangiano.
Haciendo referencia al espacio vectorial canónico R 2 n anterior,
- el subespacio generado por { x 1 , y 1 } es simpléctico
- el subespacio generado por { x 1 , x 2 } es isotrópico
- el subespacio generado por { x 1 , x 2 , ..., x n , y 1 } es coisotrópico
- el subespacio generado por { x 1 , x 2 , ..., x n } es lagrangiano.
Grupo Heisenberg
Un grupo de Heisenberg se puede definir para cualquier espacio vectorial simpléctico, y esta es la forma típica en que surgen los grupos de Heisenberg .
Se puede pensar en un espacio vectorial como un grupo de Lie conmutativo (bajo adición), o de manera equivalente, como un álgebra de Lie conmutativa , es decir, con corchetes de Lie trivial. El grupo de Heisenberg es una extensión central de tal álgebra / grupo de Lie conmutativo: la forma simpléctica define la conmutación, de manera análoga a las relaciones de conmutación canónicas (CCR), y una base de Darboux corresponde a coordenadas canónicas , en términos físicos, a operadores de momento y operadores de posición .
De hecho, según el teorema de Stone-von Neumann , toda representación que satisface el CCR (toda representación del grupo de Heisenberg) es de esta forma, o más propiamente conjugada unitariamente a la estándar.
Además, el álgebra de grupo de (el dual a) un espacio vectorial es el álgebra simétrica , y el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (del dual) es el álgebra de Weyl : uno puede pensar en la extensión central como correspondiente a la cuantificación o deformación .
Formalmente, el álgebra simétrica de un espacio vectorial V sobre un campo F es el álgebra de grupo del dual, Sym ( V ): = F [ V ∗ ] , y el álgebra de Weyl es el álgebra de grupo del (dual) grupo de Heisenberg W ( V ) = F [ H ( V ∗ )] . Dado que el paso a álgebras de grupo es un funtor contravariante , el mapa de extensión central H ( V ) → V se convierte en una inclusión Sym ( V ) → W ( V ) .
Ver también
- Una variedad simpléctica es una variedad suave con una forma simpléctica cerrada que varía suavemente en cada espacio tangente.
- Índice de Maslov
- Una representación simpléctica es una representación de grupo en la que cada elemento del grupo actúa como una transformación simpléctica.
Referencias
- Claude Godbillon (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Hermann
- Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). "Sistemas hamiltonianos y lagrangianos". Fundamentos de la Mecánica (2ª ed.). Londres: Benjamin-Cummings. págs. 161–252. ISBN 0-8053-0102-X. PDF
- Paulette Libermann y Charles-Michel Marle (1987) "Geometría simpléctica y mecánica analítica", D. Reidel
- Jean-Marie Souriau (1997) "Estructura de sistemas dinámicos, una visión simpléctica de la física", Springer