En matemáticas y álgebra abstracta , un bucle de Bol es una estructura algebraica que generaliza la noción de grupo . Los bucles Bol llevan el nombre del matemático holandés Gerrit Bol, quien los introdujo en ( Bol 1937 ).
Se dice que un bucle , L , es un bucle de Bol izquierdo si satisface la identidad
- , para cada a , b , c en L ,
mientras que se dice que L es un bucle de Bol derecho si satisface
- , Para cada una , b , c en L .
Estas identidades pueden verse como formas debilitadas de asociatividad .
Un bucle es tanto a la izquierda como a la derecha si y solo si es un bucle de Moufang . Diferentes autores utilizan el término "bucle de Bol" para referirse a un bucle de Bol izquierdo o uno derecho.
Bucles de Bruck
Un bucle de Bol que satisface la propiedad inversa automórfica, ( ab ) −1 = a −1 b −1 para todo a, b en L , se conoce como bucle de Bruck (izquierda o derecha) o bucle K (llamado así por el matemático estadounidense Richard Bruck ). El ejemplo de la siguiente sección es un bucle de Bruck.
Los bucles de Bruck tienen aplicaciones en relatividad especial ; ver Ungar (2002). Los bucles de Bruck izquierdos son equivalentes a los giroscopios de giroconmutación de Ungar (2002) , aunque las dos estructuras se definen de manera diferente.
Ejemplo
Deje que L denota el conjunto de nxn positivas definidas , hermitianos matrices sobre los números complejos. En general, no es cierto que el producto matricial AB de las matrices A , B en L sea hermitiano, y mucho menos definido positivo. Sin embargo, existe una P única en L y una matriz unitaria única U tal que AB = PU ; esta es la descomposición polar de AB . Definir una operación * binario en L por A * B = P . Entonces ( L , *) es un bucle de Bruck a la izquierda. Una fórmula explícita para * viene dada por A * B = ( AB 2 A ) 1/2 , donde el superíndice 1/2 indica la raíz cuadrada hermitiana definida positiva única .
Álgebra bol
Un álgebra de Bol (izquierda) es un espacio vectorial equipado con una operación binaria y una operación ternaria que satisfaga las siguientes identidades: [1]
y
y
y
Si A es un álgebra alternativa izquierda o derecha, entonces tiene un álgebra de Bol asociada A b , dondees el conmutador yes el asociado de Jordan .
Referencias
- ^ Irvin R. Hentzel, Luiz A. Peresi, " Identidades especiales para álgebras de Bol ", Álgebra lineal y sus aplicaciones 436 (7) · Abril de 2012
- Bol, G. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen , 114 (1): 414–431, doi : 10.1007 / BF01594185 , ISSN 0025-5831 , JFM 63.1157.04 , MR 1513147 , Zbl 0016.22603
- Kiechle, H. (2002). Teoría de los K-Loops . Saltador. ISBN 978-3-540-43262-3.
- Pflugfelder, HO (1990). Cuasigrupos y bucles: Introducción . Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8. El capítulo VI trata sobre los bucles de Bol.
- Robinson, DA (1966). "Bol loops" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 123 (2): 341–354. doi : 10.1090 / s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR 1994661 .
- Ungar, AA (2002). Más allá de la ley de adición de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los giroscopios y los espacios giroscópicos . Kluwer. ISBN 978-0-7923-6909-7.