En álgebra abstracta , un álgebra alternativa es un álgebra en la que la multiplicación no necesita ser asociativa , solo alternativa . Es decir, uno debe tener
para todos los x y y en el álgebra.
Cada álgebra asociativa es obviamente alternativa, pero también lo son algunas álgebras estrictamente no asociativas como las octoniones .
El asociado
Las álgebras alternativas se denominan así porque son las álgebras para las que se alterna el asociador . El asociador es un mapa trilineal dado por
- .
Por definición, un mapa multilineal se alterna si desaparece cuando dos de sus argumentos son iguales. Las identidades alternativas izquierda y derecha para un álgebra son equivalentes a [1]
Ambas identidades juntas implican que el asociador es totalmente simétrico sesgado . Es decir,
para cualquier permutación σ . Resulta que
para todos los x y y . Esto es equivalente a la identidad flexible [2]
Por tanto, el asociador de un álgebra alternativa es alterno. Por el contrario, cualquier álgebra cuyo asociador sea alterno es claramente alternativa. Por simetría, cualquier álgebra que satisfaga dos de:
- identidad alternativa izquierda:
- identidad alternativa correcta:
- identidad flexible:
es alternativo y, por tanto, satisface las tres identidades.
Un asociador alterno siempre es totalmente simétrico sesgado. Lo contrario se cumple siempre que la característica del campo base no sea 2.
Ejemplos de
- Todo álgebra asociativa es alternativa.
- Los octoniones forman un álgebra alternativa no asociativa, un álgebra de división normalizada de dimensión 8 sobre los números reales. [3]
- De manera más general, cualquier álgebra de octonión es alternativa.
No ejemplos
- Las sedeniones y todas las álgebras de Cayley-Dickson superiores pierden la alternativa.
Propiedades
El teorema de Artin establece que en un álgebra alternativa la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa . [4] A la inversa, cualquier álgebra para la que esto sea cierto es claramente alternativa. De ello se deduce que las expresiones que involucran solo dos variables se pueden escribir sin ambigüedades sin paréntesis en un álgebra alternativa. Una generalización del teorema de Artin establece que siempre que tres elementos en un asociado de álgebra alternativa (es decir, ), la subálgebra generada por esos elementos es asociativa.
Un corolario del teorema de Artin es que las álgebras alternativas son asociativas de potencia , es decir, la subálgebra generada por un solo elemento es asociativa. [5] No es necesario que se mantenga lo contrario: las sedeniones son asociativas de poder pero no alternativas.
mantener en cualquier álgebra alternativa. [2]
En un álgebra alternativa unital, los inversos multiplicativos son únicos siempre que existen. Además, para cualquier elemento invertible y todo uno tiene
Esto es equivalente a decir que el asociador desaparece para todos esos y . Si y son invertibles entonces también es invertible con inverso . Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos invertibles se cierra mediante multiplicación y forma un bucle de Moufang . Este bucle de unidades en un anillo alternativo o álgebra es análogo al grupo de unidades en un anillo asociativo o álgebra.
El teorema de Kleinfeld establece que cualquier anillo alternativo no asociativo simple es un álgebra de octonión generalizada sobre su centro. [6] La teoría de la estructura de anillos alternativos se presenta en. [7]
Aplicaciones
El plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano de Moufang .
La estrecha relación de álgebras alternativas y álgebras de composición fue dada por Guy Roos en 2008: [8] Muestra (página 162) la relación para un álgebra A con elemento unitario e y un anti-automorfismo involutivo de tal manera que un + un * y AA * están en la línea se extendió por correo para todos una en una . Utilice la notación n ( a ) = aa *. Entonces, si n es un mapeo no singular en el campo de A , y A es alternativo, entonces ( A, n ) es un álgebra de composición.
Ver también
Referencias
- ^ Schafer (1995) p.27
- ↑ a b Schafer (1995) p.28
- ^ Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9. Zbl 1098.17001 .
- ^ Schafer (1995) p.29
- ^ Schafer (1995) p.30
- ↑ Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) pág.151
- ↑ Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (mil novecientos ochenta y dos)
- ^ Guy Roos (2008) "Dominios simétricos excepcionales", §1: Álgebras de Cayley, en Simetrías en análisis complejo por Bruce Gilligan y Guy Roos, volumen 468 de Matemáticas contemporáneas , American Mathematical Society
- Schafer, Richard D. (1995). Introducción a las álgebras no asociativas . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
- Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Anillos que son casi asociativos . Prensa académica . ISBN 0-12-779850-1. Señor 0518614 . Zbl 0487.17001 .
enlaces externos
- Zhevlakov, KA (2001) [1994], "Anillos y álgebras alternativos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press