En el análisis armónico en matemáticas , una función de oscilación media acotada , también conocida como función BMO , es una función de valor real cuya oscilación media está acotada (finita). El espacio de funciones de oscilación media acotada ( BMO ), es un espacio funcional que, en cierto sentido preciso, juega el mismo papel en la teoría de los espacios de Hardy H p que el espacio L ∞ de funciones esencialmente acotadas en la teoría de L p -espacios : también se llamaEspacio John – Nirenberg , después de Fritz John y Louis Nirenberg que lo introdujeron y estudiaron por primera vez.
Según Nirenberg (1985 , p. 703 y p. 707), [1] John (1961 , pp. 410-411) introdujo el espacio de funciones de oscilación media acotada en relación con sus estudios de mapeos de un conjunto acotado Ω perteneciente a R n en R n y los problemas correspondientes que surgen de la teoría de la elasticidad , precisamente del concepto de deformación elástica : la notación básica fue introducida en un artículo que sigue de cerca por John & Nirenberg (1961) , [2]donde se probaron varias propiedades de estos espacios funcionales. El siguiente paso importante en el desarrollo de la teoría fue la prueba de Charles Fefferman [3] de la dualidad entre BMO y el espacio Hardy H 1 , en el destacado artículo Fefferman & Stein 1972 : una prueba constructiva de este resultado, introduciendo nuevos métodos e iniciando un mayor desarrollo de la teoría, estuvo a cargo de Akihito Uchiyama . [4]
Definición 1. La oscilación media de una función u integrable localmente sobre un hipercubo [5] Q en R n se define como el valor de la siguiente integral :
Definición 2. Una función de BMO es una función localmente integrable u cuya media oscilación supremo , tomada sobre el conjunto de todos los cubos Q contenida en R n , es finito.
Nota 1 . El supremo de la oscilación media se denomina norma BMO de u . [6] y se denota por || u || BMO (y en algunos casos también se denota || u || ∗ ).
Nota 2 . El uso de cubos Q en R n como los dominios de integración sobre los que se calcula la oscilación media no es obligatorio: Wiegerinck (2001) usa bolas en su lugar y, como señaló Stein (1993 , p. 140), al hacerlo, Surge una definición equivalente de funciones de oscilación media acotada.