En los campos matemáticos de análisis numérico y la teoría de aproximación , caja estrías son trozos polinómicas funciones de varias variables. [1] Las splines de caja se consideran una generalización multivariante de splines base (B-splines) y generalmente se utilizan para aproximaciones / interpolaciones multivariadas. Geométricamente, una spline de caja es la sombra (rayos X) de un hipercubo proyectada hacia un espacio de menor dimensión. [2] Las splines de caja y las splines simplex son casos especiales bien estudiados de splines poliédricos que se definen como sombras de politopos generales .
Definición
Una spline de caja es una función multivariante () definido para un conjunto de vectores, , generalmente reunidos en una matriz .
Cuando el número de vectores es el mismo que la dimensión del dominio (es decir, ) entonces la caja spline es simplemente la función indicadora (normalizada) del paralelepípedo formado por los vectores en:
Añadiendo una nueva dirección, , a , o en general cuando , el cuadro spline se define de forma recursiva: [1]
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Box_Splines_Square_Grid_Annotated_Dark.png/220px-Box_Splines_Square_Grid_Annotated_Dark.png)
La caja spline puede interpretarse como la sombra de la función indicadora de la unidad hipercubo en cuando se proyecta hacia abajo en . En esta vista, los vectoresson la proyección geométrica de la base estándar en (es decir, los bordes del hipercubo) a .
Considerando distribuciones templadas, una spline de caja asociada con un vector de dirección única es una función generalizada similar a Dirac soportada en por . Entonces, la spline de caja general se define como la convolución de las distribuciones asociadas a las splines de caja de un solo vector:
Propiedades
- Dejar ser el número mínimo de direcciones cuya eliminación de hace que las direcciones restantes no se extiendan. Entonces la caja spline tiene grados de continuidad: . [1]
- Cuándo (y vectores en lapso ) la caja spline es una función de soporte compacto cuyo soporte es un zonotopo enformado por la suma de Minkowski de los vectores de dirección.
- Dado que los zonótopos son centralmente simétricos, el soporte de la spline de caja es simétrico con respecto a su centro:
- Transformada de Fourier de la spline de caja, en dimensiones, viene dada por
Aplicaciones
Para las aplicaciones, se utilizan combinaciones lineales de cambios de una o más ranuras de caja en una celosía. Tales splines son eficientes, más que las combinaciones lineales de splines simplex, porque son refinables y, por definición, invariantes en el desplazamiento. Por lo tanto, forman el punto de partida para muchas construcciones de superficies de subdivisión .
Las ranuras de caja han sido útiles en la caracterización de arreglos de hiperplanos. [3] Además, las splines de caja se pueden utilizar para calcular el volumen de politopos. [4]
En el contexto del procesamiento de señales multidimensionales , las splines de caja pueden proporcionar núcleos de interpolación multivariante (filtros de reconstrucción) adaptados a redes de muestreo no cartesianas , [5] y redes cristalográficas (redes de raíz) que incluyen muchas redes de muestreo teóricamente óptimas para la información. [6] Generalmente, el empaquetamiento de esferas óptimo y las celosías de cobertura de esferas [7] son útiles para muestrear funciones multivariadas en dimensiones 2-D, 3-D y superiores. [8] En la configuración 2-D, el cuadro spline de tres direcciones [9] se utiliza para la interpolación de imágenes muestreadas hexagonalmente. En la configuración 3-D, se utilizan splines de cuadro de cuatro direcciones [10] y seis direcciones [11] para la interpolación de datos muestreados en las celosías cúbicas centradas en el cuerpo y en las caras (óptimas) respectivamente. [5] La caja spline de siete direcciones [12] se ha utilizado para modelar superficies y se puede utilizar para la interpolación de datos en el retículo cartesiano [13] así como en el retículo cúbico centrado en el cuerpo . [14] La generalización de las ranuras de caja de cuatro [10] y seis direcciones [11] a dimensiones más altas [15] se puede utilizar para construir ranuras en celosías de raíz . [16] Los splines de caja son ingredientes clave de los splines hexagonales [17] y los splines de Voronoi [18] que, sin embargo, no son refinables.
Las splines de caja han encontrado aplicaciones en el filtrado de alta dimensión, específicamente para el filtrado bilateral rápido y los algoritmos de medios no locales. [19] Además, las ranuras de caja se utilizan para diseñar filtros eficientes de variantes espaciales (es decir, no convolucionales). [20]
Las splines de caja son funciones básicas útiles para la representación de imágenes en el contexto de problemas de reconstrucción tomográfica , ya que los espacios de spline generados por los espacios de splines de caja se cierran con transformaciones de rayos X y radón . [21] [22] En esta aplicación, mientras que la señal se representa en espacios invariantes de desplazamiento, las proyecciones se obtienen, en forma cerrada, por traslados no uniformes de splines de caja. [21]
En el contexto del procesamiento de imágenes, se ha demostrado que los marcos de caja spline son efectivos en la detección de bordes. [23]
Referencias
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