Un zonoedro es un poliedro convexo que es centralmente simétrico , cada cara del cual es un polígono que es centralmente simétrico . Cualquier zonoedro puede describirse de manera equivalente como la suma de Minkowski de un conjunto de segmentos de línea en un espacio tridimensional, o como la proyección tridimensional de un hipercubo . Los zonoedros fueron originalmente definidos y estudiados por ES Fedorov , un cristalógrafo ruso . De manera más general, en cualquier dimensión, la suma de segmentos de línea de Minkowski forma un politopo conocido como zonótopo .
Zonohedra ese espacio de baldosas
La motivación original para estudiar los zonoedros es que el diagrama de Voronoi de cualquier celosía forma un panal convexo uniforme en el que las células son zonoedros. Cualquier zonoedro formado de esta manera puede teselar el espacio tridimensional y se denomina paraleloedro primario . Cada paraleloedro primaria es combinatoriamente equivalente a uno de los cinco tipos: el romboedro (incluyendo el cubo ), prisma hexagonal , truncada octaedro , dodecaedro rómbico , y el dodecaedro Rhombo-hexagonal .
Zonohedra de las sumas de Minkowski
Dejar ser una colección de vectores tridimensionales . Con cada vectorpodemos asociar un segmento de línea . La suma de Minkowski forma un zonoedro, y todos los zonoedros que contienen el origen tienen esta forma. Los vectores a partir de los cuales se forma el zonoedro se denominan generadores . Esta caracterización permite generalizar la definición de zonoedros a dimensiones superiores, dando zonótopos.
Cada borde de un zonoedro es paralelo al menos a uno de los generadores y tiene una longitud igual a la suma de las longitudes de los generadores a los que es paralelo. Por lo tanto, al elegir un conjunto de generadores sin pares de vectores paralelos, y al igualar todas las longitudes de los vectores, podemos formar una versión equilátera de cualquier tipo combinatorio de zonoedro.
Al elegir conjuntos de vectores con altos grados de simetría, podemos formar de esta manera, zonoedros con al menos la misma simetría. Por ejemplo, los generadores igualmente espaciados alrededor del ecuador de una esfera, junto con otro par de generadores a través de los polos de la esfera, forman zonoedros en forma de prisma sobre regular-gons: el cubo , prisma hexagonal , prisma octogonal , prisma decagonal , prisma dodecagonal , etc. Generadores paralelas a los bordes de una forma octaedro un truncado octaedro , y generadores paralelos a las largas diagonales de una forma cubo una Rombododecaedro . [1]
La suma de Minkowski de dos zonoedros cualesquiera es otro zonoedro, generado por la unión de los generadores de los dos zonoedros dados. Así, la suma de Minkowski de un cubo y un octaedro truncado forma el cuboctaedro truncado , mientras que la suma de Minkowski del cubo y el dodecaedro rómbico forma el dodecaedro rómbico truncado . Ambos zonoedros son simples (tres caras se encuentran en cada vértice), al igual que el pequeño rombicuboctaedro truncado formado a partir de la suma de Minkowski del cubo, el octaedro truncado y el dodecaedro rómbico. [1]
Zonohedra de arreglos
El mapa de Gauss de cualquier poliedro convexo mapea cada cara del polígono a un punto en la esfera unitaria, y mapea cada borde del polígono que separa un par de caras en un gran arco circular que conecta los dos puntos correspondientes. En el caso de un zonoedro, los bordes que rodean cada cara se pueden agrupar en pares de bordes paralelos, y cuando se traduce mediante el mapa de Gauss, cualquiera de esos pares se convierte en un par de segmentos contiguos en el mismo gran círculo. Por lo tanto, los bordes del zonoedro se pueden agrupar en zonas de bordes paralelos, que corresponden a los segmentos de un gran círculo común en el mapa de Gauss, y el esqueleto 1 del zonoedro se puede ver como el gráfico dual plano de una disposición. de grandes círculos en la esfera. A la inversa, cualquier disposición de grandes círculos puede formarse a partir del mapa de Gauss de un zonoedro generado por vectores perpendiculares a los planos a través de los círculos.
Cualquier zonoedro simple corresponde de esta manera a una disposición simplicial , en la que cada cara es un triángulo. Los arreglos simples de los círculos máximos corresponden a través de la proyección central a los arreglos simples de las líneas en el plano proyectivo . Hay tres familias infinitas conocidas de arreglos simpliciales, una de las cuales conduce a los prismas cuando se convierte en zonoedros, y las otras dos corresponden a familias infinitas adicionales de zonoedros simples. También hay muchos ejemplos esporádicos que no encajan en estas tres familias. [2]
De la correspondencia entre zonoedros y arreglos, y del teorema de Sylvester-Gallai que (en su forma proyectiva dual ) prueba la existencia de cruces de solo dos líneas en cualquier arreglo, cada zonoedro tiene al menos un par de caras opuestas de paralelogramo. . (Los cuadrados, rectángulos y rombos cuentan para este propósito como casos especiales de paralelogramos.) Más claramente, cada zonoedro tiene al menos seis caras de paralelogramo, y cada zonoedro tiene un número de caras de paralelogramo que es lineal en su número de generadores. [3]
Tipos de zonoedros
Cualquier prisma sobre un polígono regular con un número par de lados forma un zonoedro. Estos prismas se pueden formar de modo que todas las caras sean regulares: dos caras opuestas son iguales al polígono regular a partir del cual se formó el prisma, y estas están conectadas por una secuencia de caras cuadradas. Los zonoedros de este tipo son el cubo , prisma hexagonal , prisma octagonal , prisma decagonal , prisma dodecagonal , etc.
Además de esta familia infinita de zonoedros de caras regulares, hay tres sólidos de Arquímedes , todos omnitruncaciones de las formas regulares:
- El octaedro truncado , con 6 caras cuadradas y 8 hexagonales. (Tetraedro omnitruncado)
- El cuboctaedro truncado , con 12 cuadrados, 8 hexágonos y 6 octágonos. (Cubo omnitruncado)
- El icosidodecaedro truncado , con 30 cuadrados, 20 hexágonos y 12 decágonos. (Dodecaedro omnitruncado)
Además, ciertos sólidos catalanes (duales de sólidos de Arquímedes) vuelven a ser zonoedros:
- El dodecaedro rómbico de Kepler es el dual del cuboctaedro .
- El triacontaedro rómbico es el dual del icosidodecaedro .
Otros con caras rómbicas congruentes:
- Dodecaedro rómbico de Bilinski .
- Icosaedro rómbico
- Romboedro
Hay infinitos zonoedros con caras rómbicas que no son todas congruentes entre sí. Incluyen:
- Eneacontaedro rómbico
zonoedro | imagen | número de generadores | cara regular | cara transitiva | borde transitivo | vértice transitivo | Paraleloedro (relleno de espacio) | sencillo |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cubo 4.4.4 | 3 | sí | sí | sí | sí | sí | sí | |
Prisma hexagonal 4.4.6 | 4 | sí | No | No | sí | sí | sí | |
2 n -prisma ( n > 3) 4.4.2n | n + 1 | sí | No | No | sí | No | sí | |
Octaedro truncado 4.6.6 | 6 | sí | No | No | sí | sí | sí | |
Cuboctaedro truncado 4.6.8 | 9 | sí | No | No | sí | No | sí | |
Iicosidodecaedro truncado 4.6.10 | 15 | sí | No | No | sí | No | sí | |
Paralelopípedo | 3 | No | sí | No | No | sí | sí | |
Dodecaedro rómbico V3.4.3.4 | 4 | No | sí | sí | No | sí | No | |
Dodecaedro Bilinski | 4 | No | No | No | No | sí | No | |
Icosaedro rómbico | 5 | No | No | No | No | No | No | |
Triacontaedro rómbico V3.5.3.5 | 6 | No | sí | sí | No | No | No | |
Dodecaedro rombo-hexagonal | 5 | No | No | No | No | sí | No | |
Dodecaedro rómbico truncado | 7 | No | No | No | No | No | sí |
Disección de zonohedra
Aunque en general no es cierto que cualquier poliedro tenga una disección en cualquier otro poliedro del mismo volumen (véase el tercer problema de Hilbert ), se sabe que dos zonoedros cualesquiera de volúmenes iguales pueden diseccionarse entre sí. [ cita requerida ]
Zonohedrificación
La zonoedrificación es un proceso definido por George W. Hart para crear un zonoedro a partir de otro poliedro. [4] [5]
Primero, los vértices de cualquier poliedro se consideran vectores del centro del poliedro. Estos vectores crean el zonoedro que llamamos zonoedrificación del poliedro original. Para dos vértices cualesquiera del poliedro original, hay dos planos opuestos de la zonoedrificación, cada uno de los cuales tiene dos aristas paralelas a los vectores de vértice.
Poliedro | Zonohedrificación | ||
---|---|---|---|
Octaedro | Cubo | ||
Cuboctaedro | Octaedro truncado de 6 zonas | ||
Cubo | Dodecaedro rómbico | ||
Rombicuboctaedro | 132-edro rómbico | ||
Dodecaedro | Eneacontaedro rómbico de 10 zonas | ||
Icosaedro | Triacontaedro rómbico de 6 zonas | ||
Icosidodecaedro | Icosidodecaedro truncado de 15 zonas |
Zonotopos
La suma de segmentos de línea de Minkowski en cualquier dimensión forma un tipo de politopo llamado zonótopo . Equivalentemente, un zonotopo generado por vectores es dado por . Tenga en cuenta que en el caso especial donde, el zonotopo es un paralelootopo (posiblemente degenerado) .
Las facetas de cualquier zonótopo son en sí mismas zonótopos de una dimensión inferior; por ejemplo, las caras de los zonoedros son zonogonos . Ejemplos de zonótopos de cuatro dimensiones incluyen el tesseract (sumas de Minkowski de d segmentos de línea de igual longitud mutuamente perpendiculares), las 5 celdas omnitruncadas y las 24 celdas truncadas . Cada permutoedro es un zonótopo.
Zonotopos y Matroides
Arreglar un zonotopo definido a partir del conjunto de vectores y deja ser el matriz cuyas columnas son las . Entonces el vector matroid en las columnas de codifica una gran cantidad de información sobre , es decir, muchas propiedades de son de naturaleza puramente combinatoria.
Por ejemplo, pares de facetas opuestas de están naturalmente indexados por los cocircuitos de y si consideramos la matroide orientada representado por , entonces obtenemos una biyección entre facetas de y cocircuitos firmados de que se extiende a un poset anti-isomorfismo entre el entramado facial de y los covectors de ordenados por extensión de componentes de . En particular, si y son dos matrices que se diferencian por una transformación proyectiva, entonces sus respectivos zonótopos son combinatoriamente equivalentes. Lo contrario de la declaración anterior no se sostiene: el segmento es un zonotopo y es generado por ambos y por cuyas matrices correspondientes, y , no se diferencian por una transformación proyectiva.
Azulejos
Propiedades de mosaico del zonótopo. también están estrechamente relacionados con la matroide orientada asociado a él. Primero consideramos la propiedad de mosaico espacial. El zonotopose dice que teja si hay un conjunto de vectores tal que la unión de todos se traduzca () es y dos traducciones cualesquiera se cruzan en una cara (posiblemente vacía) de cada una. Tal zonotopo se llama zonotopo de mosaico espacial. La siguiente clasificación de zonotopos de mosaico espacial se debe a McMullen: [6] El zonotopo generado por los vectores Los mosaicos espacian si y solo si la matriz orientada correspondiente es regular . Entonces, la condición aparentemente geométrica de ser un zonótopo de mosaico espacial en realidad depende solo de la estructura combinatoria de los vectores generadores.
Otra familia de teselaciones asociadas al zonotopo son las teselaciones zonotopales de. Una colección de zonotopos es un mosaico zonotopal de si es un complejo poliédrico con soporte , es decir, si la unión de todos los zonotopos de la colección es y dos se cruzan en una cara común (posiblemente vacía) de cada uno. Muchas de las imágenes de zonoedros en esta página pueden verse como teselaciones zonotopales de un zonótopo bidimensional simplemente considerándolas como objetos planos (a diferencia de las representaciones planas de objetos tridimensionales). El teorema de Bohne-Dress establece que hay una biyección entre los teselados zonotopales del zonotopoy ascensores de un solo elemento de la matroide orientada asociado a . [7] [8]
Volumen
Los zonoedros, y los zonótopos n- dimensionales en general, son dignos de mención por admitir una fórmula analítica simple para su volumen. [9]
Dejar ser el zonotopo generado por un conjunto de vectores . Entonces el volumen n-dimensional de es dado por .
El determinante en esta fórmula tiene sentido porque (como se señaló anteriormente) cuando el conjunto tiene cardinalidad igual a la dimensión del espacio ambiental, el zonótopo es un paraleloótopo.
Tenga en cuenta que cuando , esta fórmula simplemente establece que el zonótopo tiene n-volumen cero.
Referencias
- ↑ a b Eppstein, David (1996). "Zonohedra y zonotopes" . Mathematica en Educación e Investigación . 5 (4): 15-21.
- ^ Grünbaum, Branko (2009). "Un catálogo de arreglos simpliciales en el plano proyectivo real" . Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. doi : 10.26493 / 1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269 . Señor 2485643 .
- ^ Shephard, GC (1968). "Veinte problemas sobre poliedros convexos, parte I". La Gaceta Matemática . 52 (380): 136-156. doi : 10.2307 / 3612678 . JSTOR 3612678 . Señor 0231278 .
- ^ http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/zonohedrification.html
- ^ Zonohedrificación , George W. Hart, The Mathematica Journal , 1999, Volumen: 7, Número: 3, págs. 374-389 [1] [2]
- ^ McMullen, Peter, 1975. Zonotopos de embaldosado espacial. Mathematika, 22 (2), págs.202-211.
- ^ J. Bohne, Eine kombinatorische Analyze zonotopaler Raumaufteilungen, Disertación, Bielefeld 1992; Preprint 92-041, SFB 343, Universität Bielefeld 1992, 100 páginas.
- ^ Richter-Gebert, J. y Ziegler, GM (1994). Azulejos de Zonotopal y el teorema de Bohne-Dress. Matemáticas contemporáneas, 178, 211-211.
- ^ McMullen, Peter (1 de mayo de 1984). "Volúmenes de proyecciones de cubos unitarios" . Boletín de la London Mathematical Society . 16 (3): 278–280. doi : 10.1112 / blms / 16.3.278 . ISSN 0024-6093 .
- Coxeter, HS M (1962). "La clasificación de Zonohedra mediante diagramas proyectivos". J. Math. Puras Appl . 41 : 137-156. Reimpreso en Coxeter, HS M (1999). La belleza de la geometría . Mineola, Nueva York: Dover. págs. 54–74. ISBN 0-486-40919-8.
- Fedorov, ES (1893). "Elemente der Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie . 21 : 671–694.
- Rolf Schneider, Capítulo 3.5 "Zonoides y otras clases de cuerpos convexos" en cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- Shephard, GC (1974). "Zonotopos que llenan el espacio". Mathematika . 21 (2): 261–269. doi : 10.1112 / S0025579300008652 .
- Taylor, Jean E. (1992). "Zonohedra y zonohedra generalizada". American Mathematical Monthly . 99 (2): 108-111. doi : 10.2307 / 2324178 . JSTOR 2324178 .
- Beck, M .; Robins, S. (2007). Calcular lo continuo de forma discreta . Springer Science + Business Media, LLC.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Zonohedron" . MathWorld .
- Eppstein, David . "El depósito de chatarra de geometría: Zonohedra y Zonotopes" .
- Hart, George W. "Poliedros virtuales: Zonoedros" .
- Weisstein, Eric W. "Paraleloedro primario" . MathWorld .
- Bulatov, Vladimir. "Terminación de poliedros zonoédricos" .
- Centore, Paul. "Cap. 2 de la geometría del color" (PDF) .