En el procesamiento de señales digitales , el muestreo multidimensional es el proceso de convertir una función de una variable multidimensional en una colección discreta de valores de la función medida en un conjunto discreto de puntos. Este artículo presenta el resultado básico de Petersen y Middleton [1] sobre las condiciones para reconstruir perfectamente una función limitada por número de onda a partir de sus medidas en una red discreta de puntos. Este resultado, también conocido como el teorema de Petersen-Middleton , es una generalización del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon para muestrear funciones unidimensionales limitadas por banda a dimensiones superioresEspacios euclidianos .
En esencia, el teorema de Petersen-Middleton muestra que una función limitada por número de onda se puede reconstruir perfectamente a partir de sus valores en una red infinita de puntos, siempre que la red sea lo suficientemente fina. El teorema proporciona condiciones en la red bajo las cuales es posible una reconstrucción perfecta.
Al igual que con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, este teorema también supone una idealización de cualquier situación del mundo real, ya que solo se aplica a funciones que se muestrean en una infinidad de puntos. La reconstrucción perfecta es matemáticamente posible para el modelo idealizado, pero solo una aproximación para las funciones del mundo real y las técnicas de muestreo, aunque en la práctica a menudo una muy buena.
Preliminares
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![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/3/32/Reciprocal_lattice.png/200px-Reciprocal_lattice.png)
El concepto de función de banda limitada en una dimensión se puede generalizar a la noción de función limitada por número de onda en dimensiones superiores. Recuerde que la transformada de Fourier de una función integrableen el espacio euclidiano n- dimensional se define como:
donde x y ξ son vectores n- dimensionales , yes el producto interno de los vectores. La función se dice que está limitado por número de onda a un conjunto si la transformada de Fourier satisface por .
De manera similar, la configuración de puntos de muestreo espaciados uniformemente en una dimensión se puede generalizar a un retículo en dimensiones más altas. Una celosía es una colección de puntos. de la forma donde { v 1 , ..., v n } es una base para. La celosía recíproca correspondiente a es definido por
donde los vectores son elegidos para satisfacer . Es decir, si los vectores formar columnas de una matriz y las columnas de una matriz , luego . Un ejemplo de una celosía de muestreo en un espacio bidimensional es una celosía hexagonal representada en la Figura 1. La celosía recíproca correspondiente se muestra en la Figura 2. La celosía recíproca de una celosía cuadrada en dos dimensiones es otra celosía cuadrada. En el espacio tridimensional, la celosía recíproca de una celosía cúbica centrada en la cara (FCC) es una celosía cúbica centrada en el cuerpo (BCC).
El teorema
Dejar denotar una celosía en y la celosía recíproca correspondiente. El teorema de Petersen y Middleton [1] establece que una función que está limitado por número de onda a un conjunto se puede reconstruir exactamente a partir de sus medidas en siempre que el conjunto no se superpone con ninguna de sus versiones cambiadas donde el desplazamiento x es cualquier elemento distinto de cero del retículo recíproco. En otras palabras, se puede reconstruir exactamente a partir de sus medidas en siempre que para todos .
Reconstrucción
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La generalización de la fórmula de suma de Poisson a dimensiones superiores [2] se puede utilizar para mostrar que las muestras,, de la función en la celosía son suficientes para crear una suma periódica de la función. El resultado es:
( Ecuación 1 )
dónde representa el volumen del paralelepípedo formado por los vectores { v 1 , ..., v n }. Esta función periódica a menudo se denomina espectro muestreado y puede interpretarse como el análogo de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) en dimensiones superiores. Si el espectro original limitado por número de onda es compatible con el set entonces la función se apoya en repeticiones periódicas de desplazado por puntos en la celosía recíproca . Si se cumplen las condiciones del teorema de Petersen-Middleton, entonces la función es igual a para todos y, por lo tanto, el campo original se puede reconstruir exactamente a partir de las muestras. En este caso, el campo reconstruido coincide con el campo original y se puede expresar en términos de las muestras como
- ,
( Ecuación 2 )
dónde es la transformada de Fourier inversa de la función característica del conjunto. Esta fórmula de interpolación es el equivalente dimensional superior de la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .
Como ejemplo supongamos que es un disco circular. La figura 3 ilustra el apoyo decuando se cumplen las condiciones del teorema de Petersen-Middleton. Vemos que las repeticiones espectrales no se superponen y, por lo tanto, el espectro original se puede recuperar exactamente.
Trascendencia
Aliasing
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![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/f/fb/Moire_pattern_of_bricks_small.jpg)
El teorema da condiciones sobre las celosías de muestreo para una reconstrucción perfecta de la muestra. Si las celosías no son lo suficientemente finas para satisfacer la condición de Petersen-Middleton, entonces el campo no se puede reconstruir exactamente a partir de las muestras en general. En este caso, decimos que las muestras pueden tener un alias . De nuevo, considere el ejemplo en el quees un disco circular. Si las condiciones de Petersen-Middleton no se cumplen, el soporte del espectro muestreado será como se muestra en la Figura 4. En este caso, las repeticiones espectrales se superponen y dan lugar a un aliasing en la reconstrucción.
Se puede obtener una ilustración simple de alias mediante el estudio de imágenes de baja resolución. Una imagen en escala de grises se puede interpretar como una función en un espacio bidimensional. Un ejemplo de aliasing se muestra en las imágenes de patrones de ladrillos en la Figura 5. La imagen muestra los efectos de aliasing cuando no se cumple la condición del teorema de muestreo. Si el enrejado de píxeles no es lo suficientemente fino para la escena, se produce un alias como lo demuestra la aparición del patrón Moiré en la imagen obtenida. La imagen de la Figura 6 se obtiene cuando se muestrea una versión suavizada de la escena con el mismo enrejado. En este caso, se cumplen las condiciones del teorema y no se produce ningún aliasing.
SP Efimov de la Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú en 1978 y. encontró un enfoque para aliviar las restricciones para el dominio del espectro. [3] Consideró que N celosías de muestreo idénticas se desplazaban arbitrariamente entre sí. El muestreo óptimo es válido para el dominio del espectro cuyas versiones desplazadas están empaquetadas N veces en una red recíproca. Por lo tanto, el anillo se puede superponer con un conjunto de hexágonos en lugar de uno. El conjunto de telescopios JWST consta de 18 hexágonos. Es posible muestrear en 18 celosías desplazadas para la transformada de Fourier bidimensional de la señal de matriz (es decir, para la señal emitida).
Rejillas de muestreo óptimas
Uno de los objetos de interés en el diseño de un esquema de muestreo para campos con número de onda limitado es identificar la configuración de puntos que conduce a la densidad de muestreo mínima, es decir, la densidad de puntos de muestreo por unidad de volumen espacial en . Normalmente, el costo de tomar y almacenar las mediciones es proporcional a la densidad de muestreo empleada. A menudo, en la práctica, el enfoque natural para muestrear campos bidimensionales es muestrearlos en puntos de una celosía rectangular . Sin embargo, esta no es siempre la opción ideal en términos de densidad de muestreo. El teorema de Petersen y Middleton se puede utilizar para identificar la retícula óptima para los campos de muestreo que están limitados por número de onda a un conjunto dado.. Por ejemplo, se puede mostrar que la celosía en con densidad espacial mínima de puntos que admite reconstrucciones perfectas de campos en número de onda, limitado a un disco circular en es la celosía hexagonal. [4] Como consecuencia, se prefieren las celosías hexagonales para muestrear campos isotrópicos en.
Las celosías de muestreo óptimas se han estudiado en dimensiones superiores. [5] Generalmente, las celosías de empaquetamiento de esferas óptimas son ideales para muestrear procesos estocásticos suaves mientras que las celosías de cobertura de esferas óptimas [6] son ideales para muestrear procesos estocásticos aproximados.
Dado que las celosías óptimas, en general, no son separables, el diseño de filtros de interpolación y reconstrucción requiere mecanismos de diseño de filtros sin producto tensorial (es decir, no separables). Las ranuras de caja proporcionan un marco flexible para diseñar tales filtros FIR de reconstrucción no separables que se pueden adaptar geométricamente para cada celosía. [7] [8] Hex-splines [9] son la generalización de B-splines para celosías hexagonales 2-D. De manera similar, en dimensiones 3-D y superiores, los splines de Voronoi [10] proporcionan una generalización de los B-splines que se pueden utilizar para diseñar filtros FIR no separables que se adaptan geométricamente para cualquier celosía, incluidas las celosías óptimas.
La construcción explícita de filtros de paso bajo ideales (es decir, funciones sinc ) generalizados a celosías óptimas es posible mediante el estudio de las propiedades geométricas de las zonas de Brillouin (es decir,arriba) de estas celosías (que son zonotopos ). [11] Este enfoque proporciona una representación explícita de forma cerrada depara celosías generales, incluidas celosías de muestreo óptimas. Esta construcción proporciona una generalización del filtro Lanczos en 1-D a la configuración multidimensional para celosías óptimas. [11]
Aplicaciones
El teorema de Petersen-Middleton es útil para diseñar estrategias de colocación de sensores eficientes en aplicaciones que involucran la medición de fenómenos espaciales como sondeos sísmicos, monitoreo ambiental y mediciones espaciales de campo de audio.
Referencias
- ^ a b D. P. Petersen y D. Middleton, "Muestreo y reconstrucción de funciones limitadas por número de onda en espacios euclidianos N-dimensionales", Información y control, vol. 5, págs. 279–323, 1962.
- ^ EM Stein y G. Weiss, "Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos", Princeton University Press, Princeton, 1971.
- ^ Efimov, Sergei (1978). "Reconstrucción de un campo con espectro finito mediante muestras de señales de filtros" . Problemy Peredaci Informacii . 14 (2): 53–60.
- ^ DR Mersereau, "El procesamiento de señales bidimensionales muestreadas hexagonalmente", Actas del IEEE, vol. 67, no. 6, págs. 930 - 949, junio de 1979.
- ^ Kunsch, HR; Agrell, E .; Hamprecht, FA (2005). "Celosías óptimas para muestreo" . Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 51 (2): 634. doi : 10.1109 / TIT.2004.840864 .
- ^ JH Conway, NJA Sloane. Empaquetaduras, celosías y grupos de esferas. Springer, 1999.
- ^ A. Entezari. Rejillas de muestreo óptimas y splines de caja trivariados. [Vancouver, BC.]: Universidad Simon Fraser, 2007. < http://summit.sfu.ca/item/8178 >.
- ^ Entezari, A .; Van De Ville, D .; Moller, T. (2008). "Prácticas estrías de caja para la reconstrucción de la celosía cúbica centrada en el cuerpo". Transacciones IEEE sobre visualización y gráficos por computadora . 14 (2): 313–328. CiteSeerX 10.1.1.330.3851 . doi : 10.1109 / TVCG.2007.70429 . PMID 18192712 .
- ^ Van De Ville, D .; Blu, T .; Unser, M .; Philips, W .; Lemahieu, I .; Van De Walle, R. (2004). "Hex-splines: una nueva familia de splines para celosías hexagonales" . Transacciones IEEE sobre procesamiento de imágenes . 13 (6): 758–772. doi : 10.1109 / TIP.2004.827231 . PMID 15648867 .
- ^ Mirzargar, M .; Entezari, A. (2010). "Voronoi Splines". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 58 (9): 4572. doi : 10.1109 / TSP.2010.2051808 .
- ^ a b Ye, W .; Entezari, A. (2012). "Una construcción geométrica de funciones Sinc multivariadas". Transacciones IEEE sobre procesamiento de imágenes . 21 (6): 2969–2979. doi : 10.1109 / TIP.2011.2162421 . PMID 21775264 .