Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función integrable localmente tiene una derivada distributiva. Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distributivas que las soluciones clásicas, o puede que no existan soluciones clásicas apropiadas. Las distribuciones también son importantes en física yingeniería donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son distribuciones, como la función delta de Dirac .
Una funciónnormalmente se piensa que actúa sobre los puntos en su dominio "enviando" un punto x en su dominio al punto En lugar de actuar sobre puntos, la teoría de la distribución reinterpreta funciones como actuando sobre funciones de prueba de cierta manera. Las funciones de prueba suelen ser funciones de valor complejo (oa veces de valor real ) infinitamente diferenciables con soporte compacto (las funciones de respuesta son ejemplos de funciones de prueba). Muchas "funciones estándar" (es decir, por ejemplo, una función que se encuentra normalmente en un curso de Cálculo ), por ejemplo, un mapa continuo.se puede reinterpretar canónicamente como actuar sobre funciones de prueba (en lugar de su interpretación habitual como actuar sobre puntos de su dominio) a través de la acción conocida como " integración contra una función de prueba"; explícitamente, esto significa que"actúa sobre" una función de prueba g "enviando" g al número Esta nueva acción de es, por tanto, un mapa complejo (o real) valorado , denotado porcuyo dominio es el espacio de funciones de prueba; este mapa resulta tener dos propiedades adicionales [nota 1] que lo convierten en lo que se conoce como una distribución enLas distribuciones que surgen de "funciones estándar" de esta manera son los ejemplos prototípicos de distribuciones. Pero hay muchas distribuciones que no surgen de esta forma y estas distribuciones se conocen como "funciones generalizadas". Los ejemplos incluyen la función delta de Dirac o algunas distribuciones que surgen a través de la acción de "integración de funciones de prueba contra medidas ". Sin embargo, mediante el uso de varios métodos, es posible reducir cualquier distribución arbitraria a una familia más simple de distribuciones relacionadas que surgen a través de tales acciones de integración.
En aplicaciones a la física y la ingeniería, el espacio de las funciones de prueba generalmente consiste en funciones suaves con soporte compacto que se definen en algún subconjunto abierto no vacío dado. Este espacio de funciones de prueba se denota por o y una distribución en U es, por definición, un funcional lineal eneso es continuo cuandorecibe una topología denominada topología LF canónica . Esto conduce a la espacio de distribuciones (todos) en U , por lo general indican mediante(nótese el primo ), que por definición es el espacio de todas las distribuciones en(es decir, es el espacio dual continuo de); estas distribuciones son el foco principal de este artículo.
Las definiciones formales de los espacios de funciones y distribuciones de prueba , sus topologías y sus propiedades son altamente técnicas, por lo que se ofrece una presentación completa de esto en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba . Mientras que ese artículo se ocupa principalmente de espacios de funciones y distribuciones de prueba, este artículo se ocupa principalmente de funciones y distribuciones de prueba individuales .
Historia
El uso práctico de distribuciones se remonta al uso de funciones de Green en la década de 1830 para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pero no se formalizó hasta mucho más tarde. Según Kolmogorov y Fomin (1957) , las funciones generalizadas se originaron en el trabajo de Sergei Sobolev ( 1936 ) sobre ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de segundo orden, y las ideas fueron desarrolladas en forma algo extendida por Laurent Schwartz a fines de la década de 1940. Según su autobiografía, Schwartz introdujo el término "distribución" por analogía con una distribución de carga eléctrica, posiblemente incluyendo no sólo cargas puntuales sino también dipolos, etc. Gårding (1997) comenta que aunque las ideas del libro transformador de Schwartz (1951) no eran completamente nuevas, fue el amplio ataque y la convicción de Schwartz de que las distribuciones serían útiles en casi todas partes en el análisis lo que marcó la diferencia.
Notación
Se utilizará la siguiente notación a lo largo de este artículo:
es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto fijo no vacío del espacio euclidiano
denota los números naturales .
denotará un número entero no negativo o
Si es una función entoncesdenotará su dominio y el apoyo de denotado por se define como el cierre del set en
Para dos funciones , la siguiente notación define un emparejamiento canónico :
Un índice múltiple de tamaño es un elemento en (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los índices múltiples, se debe suponer que el tamaño es ). La longitud de un índice múltiple Se define como y denotado por Los índices múltiples son particularmente útiles cuando se trata de funciones de varias variables, en particular, presentamos las siguientes notaciones para un índice múltiple dado :
También introducimos un orden parcial de todos los índices múltiples por si y solo si para todos Cuándo definimos su coeficiente binomial de índices múltiples como:
Definiciones de funciones y distribuciones de prueba
En esta sección, se introducen algunas nociones y definiciones básicas necesarias para definir distribuciones de valor real en U. Las definiciones formales de los espacios de funciones y distribuciones de prueba, sus topologías y sus propiedades son altamente técnicas, por lo que se ofrece una presentación completa de esto en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba . El contenido relacionado con la definición formal de estos espacios que también se utiliza en este artículo se describe en esta subsección.
Notación : Suponga
Dejar denota el espacio vectorial de todos los k -los tiempos continuamente diferenciables funciones valores reales-en U .
Para cualquier subconjunto compacto dejar y ambos denotan el espacio vectorial de todas esas funciones tal que
Tenga en cuenta que depende tanto de K como de U, pero solo indicaremos K , donde en particular, si entonces el dominio de es T en lugar de K . Usaremos la notación solo cuando la notación corre el riesgo de ser ambiguo.
Claramente, cada contiene el mapa constante 0 , incluso si
Dejar denotar el conjunto de todos tal que para algunos compacto subconjunto K de U .
Equivalentemente, es el conjunto de todos tal que Tiene soporte compacto.
es igual a la unión de todos como rangos en todos los subconjuntos compactos de
Si es una función de valor real en U , entonces es un elemento de si y solo si es un función de golpe . Cada función de prueba de valor real en es siempre también una función de prueba de valor complejo en
El gráfico de la función de golpe dónde y Esta función es una función de prueba en y es un elemento de El soporte de esta función es el disco de la unidad cerrada en No es cero en el disco de la unidad abierta y es igual a 0 en todas partes fuera de él.
Para todos y cualquier subconjunto compacto K y L de U , tenemos:
Definición : Elementos de se denominan funciones de prueba en U y se llama el espacio de la función de prueba de U . Usaremos ambos y para denotar este espacio.
Las distribuciones en U se definen como los funcionales lineales continuos encuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular llamada topología LF canónica . Desafortunadamente, esta topología no es fácil de definir, pero aún es posible caracterizar las distribuciones de manera que no se haga mención de la topología LF canónica.
Proposición : Si T es un funcional lineal enentonces T es una distribución si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes:
Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos [1]
Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos con apoyo contenido en [2]
Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en Si converge uniformemente a cero en para todos los índices múltiples , luego
Las caracterizaciones anteriores se pueden usar para determinar si un funcional lineal es una distribución, pero los usos más avanzados de distribuciones y funciones de prueba (como aplicaciones a ecuaciones diferenciales ) son limitados si no se colocan topologías en y
Topología en C k ( U )
Ahora presentamos las seminormas que definirán la topología enLos diferentes autores a veces usan diferentes familias de seminormas, por lo que enumeramos las familias más comunes a continuación. Sin embargo, la topología resultante es la misma independientemente de la familia que se utilice.
Suponer y es un subconjunto compacto arbitrario de Suponer un número entero tal que [nota 2] y es un índice múltiple con longitud Para definir:
mientras que para defina todas las funciones anteriores para que sean el mapa constante 0 .
Cada una de las funciones anteriores no son negativas -valued [nota 3] seminormas en
Cada una de las siguientes familias de seminormas genera la misma topología vectorial localmente convexa en:
El espacio vectorial está dotado de la topología localmente convexa inducida por cualquiera de las cuatro familias de seminormas descritas anteriormente; de manera equivalente, la topología es la topología vectorial inducida por todas las seminormas anteriores (es decir, por la unión de las cuatro familias de seminormas).
Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo ( no regulable ) y todas las seminormas definidas anteriormente son continuas en este espacio. Todas las seminormas definidas anteriormente son funciones continuas enBajo esta topología, una red en converge a si y solo si para cada índice múltiple con y cada compacto el neto de derivadas parciales converge uniformemente a en [3] Para cualquiercualquier (von Neumann) subconjunto acotado dees un subconjunto relativamente compacto de[4] En particular, un subconjunto de está acotado si y solo si está acotado en para todos [4] El espacioes un espacio Montel si y solo si[5]
Un subconjunto de está abierto en esta topología si y solo si existe tal que está abierto cuando está dotado de la topología subespacial inducida en él por
Topología en C k ( K )
Como antes, arregla Recuerda que si es cualquier subconjunto compacto de luego
Supuesto : para cualquier subconjunto compacto de ahora en adelante asumiremos que está dotado de la topología subespacial que hereda del espacio Fréchet
Si es finito entonces es un espacio de Banach [6] con una topología que puede ser definida por la norma
Y cuando luego es incluso un espacio de Hilbert . [6]
Extensiones triviales e independencia de la topología de C k ( K ) de U
La definición de depende de U, así que dejaremos denotar el espacio topológico que por definición es un subespacio topológico de Suponer es un subconjunto abierto de conteniendo Dado su trivial extensión a V es, por definición, la función definido por:
así que eso Dejar denotar el mapa que envía una función en a su extensión trivial en V . Este mapa es una inyección lineal y para cada subconjunto compacto tenemos dónde es el subespacio vectorial de que consta de mapas con soporte contenido en (desde es también un subconjunto compacto de ). Resulta que Si estoy restringido a entonces el siguiente mapa lineal inducido es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo TVS):
y así el siguiente mapa (que al igual que el mapa anterior está definido por ) es una incrustación topológica :
Utilizando nosotros identificamos con su imagen en Porque a través de esta identificación, también se puede considerar como un subconjunto de Así, la topología en es independiente del subconjunto abierto U de que contiene K . [7] Esto justifica la práctica de la escritura en vez de
Topología canónica LF
Recordar que denotar todas esas funciones en que tienen soporte compacto en donde nota que es la unión de todos como rangos en todos los subconjuntos compactos de Además, para cada es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba.
se llama el espacio de funciones de prueba en y también se puede denotar por A menos que se indique lo contrario, está dotado de una topología denominada topología LF canónica .
La topología LF canónica no es metrizable y, lo que es más importante, es estrictamente más fina que la topología subespacial que induce en Sin embargo, la topología LF canónica hace en un completo espacio reflexivo nuclear [8] Montel [9] bornológico de Mackey con barriles ; lo mismo ocurre con su fuerte espacio dual (es decir, el espacio de todas las distribuciones con su topología habitual). La topología LF canónica se puede definir de varias formas.
Distribuciones
Como se discutió anteriormente, los funcionales lineales continuos en un se conocen como distribuciones en Otras definiciones equivalentes se describen a continuación.
Por definición, una distribución enes un funcional lineal continuo en Dicho de otra manera, una distribución en es un elemento del espacio dual continuo de Cuándo está dotado de su topología LF canónica.
Hay un emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución en y una función de prueba que se denota utilizando corchetes angulares por
Uno interpreta esta notación como la distribución actuando sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba actuando en la distribución
Topología sobre el espacio de distribuciones y su relación con la topología débil- *
El conjunto de todas las distribuciones en es el espacio dual continuo deque cuando está dotado de la topología dual fuerte se denota por Es importante destacar que, a menos que se indique lo contrario, la topología en es la topología dual fuerte ; si la topología es en cambio la topología débil *, entonces esto se indicará claramente. Ninguna topología es metrizable aunque a diferencia de la topología débil *, la topología dual fuerte haceen un espacio nuclear completo , por nombrar solo algunas de sus propiedades deseables.
Ninguno de los dos ni su fuerte dual es un espacio secuencial y, por lo tanto, ninguna de sus topologías puede describirse completamente mediante secuencias (en otras palabras, definir solo qué secuencias convergen en estos espacios no es suficiente para definir completa / correctamente sus topologías). Sin embargo, una secuencia enconverge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil- * (esto lleva a muchos autores a usar la convergencia puntual para definir realmente la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para las secuencias, pero no se garantiza que se extienda a la convergencia de redes de distribuciones porque una red puede converger puntualmente pero no converger en la topología dual fuerte). Más información sobre la topología queestá dotado se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba y en los artículos sobre topologías polares y sistemas duales .
Un mapa lineal deen otro espacio vectorial topológico localmente convexo (como cualquier espacio normado ) es continuo si y solo si es secuencialmente continuo en el origen. Sin embargo, esto ya no está garantizado si el mapa no es lineal o para mapas valorados en espacios topológicos más generales (por ejemplo, que no son también espacios vectoriales topológicos localmente convexos ). Lo mismo ocurre con los mapas de(de manera más general, esto es cierto para los mapas de cualquier espacio bornológico localmente convexo ).
Caracterizaciones de distribuciones
Proposición. Sies un funcional lineal en Entonces los siguientes son equivalentes:
T es una distribución;
Definición : T es continuo ;
T es continuo en el origen;
T es uniformemente continuo ;
T es un operador acotado ;
T es secuencialmente continuo ;
explícitamente, para cada secuencia en que converge en Para algo [nota 4]
T es secuencialmente continuo en el origen; en otras palabras, T mapea secuencias nulas [nota 5] a secuencias nulas;
explícitamente, para cada secuencia en que converge en al origen (tal secuencia se llama secuencia nula ),
una secuencia nula es por definición una secuencia que converge al origen;
T mapea secuencias nulas a subconjuntos acotados;
explícitamente, para cada secuencia en que converge en al origen, la secuencia está ligado;
T mapea secuencias nulas convergentes de Mackey a subconjuntos acotados;
explícitamente, para cada secuencia nula convergente de Mackey en la secuencia está ligado;
una secuencia se dice que es Mackey convergente a 0 si existe una secuencia divergente de número real positivo tal que la secuencia está ligado; toda secuencia que es Mackey convergente a 0 necesariamente converge al origen (en el sentido habitual);
El núcleo de T es un subespacio cerrado de
La gráfica de T está cerrada;
Existe una continua seminorma g en tal que
Existe una constante una colección de seminarios continuos, que define la topología LF canónica de y un subconjunto finito tal que [nota 6]
Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos [1]
Para cada subconjunto compacto existen constantes y tal que para todos con apoyo contenido en [2]
Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en Si converge uniformemente a cero para todos los índices múltiples p , entonces
Localización de distribuciones
No hay forma de definir el valor de una distribución en en un punto de especial U . Sin embargo, como es el caso de las funciones, distribuciones en U restringen para dar distribuciones en subconjuntos abiertos de U . Además, las distribuciones se determinan localmente en el sentido de que una distribución en todo U puede ensamblarse a partir de una distribución en una cubierta abierta de U que satisfaga algunas condiciones de compatibilidad en las superposiciones. Tal estructura se conoce como gavilla .
Extensiones y restricciones a un subconjunto abierto
Sean U y V subconjuntos abiertos de con . Dejarser el operador que se extiende por cero una función suave dado soporte compacto en V para una función suave de forma compacta soportado en el conjunto más grande U . La transposición de se llama mapeo de restricción y se denota por
El mapa es una inyección continua donde si entonces es no una inmersión topológica y su rango es no denso enlo que implica que la transposición de este mapa no es inyectiva ni sobreyectiva. [10] Una distribuciónse dice que es extensible a U si pertenece al rango de la transposición dey se llama extensible si es extensible a[10]
Para cualquier distribución la restricción es una distribución en definido por:
A no ser que la restricción a V no es inyectiva ni sobreyectiva . La falta de sobreyectividad sigue desde distribuciones pueden volar hacia el límite de V . Por ejemplo, si y luego la distribución
es en pero no admite extensión a
Pegados y distribuciones que se desvanecen en un conjunto
Teorema [11] - Sea ser una colección de subconjuntos abiertos de Para cada dejar y supongamos que para todos la restricción de a es igual a la restricción de a (tenga en cuenta que ambas restricciones son elementos de ). Entonces existe un único tal que para todos la restricción de T a es igual a
Deje que V sea un subconjunto abierto de U .se dice que desaparece en V si para todos tal que tenemos T desaparece en V si y solo si la restricción de T a V es igual a 0, o de manera equivalente, si y solo si T se encuentra en el núcleo del mapa de restricción
Corolario [11] - Sea ser una colección de subconjuntos abiertos de y deja si y solo si para cada la restricción de T a es igual a 0.
Corolario [11] - La unión de todos los subconjuntos abiertos de U en los que desaparece una distribución T es un subconjunto abierto de U en el que T desaparece.
Soporte de una distribución
Este último corolario implica que para cada distribución T en U , existe un subconjunto único más grande V de U tal que T desaparece en V (y no desaparece en ningún subconjunto abierto de U que no esté contenido en V ); el complemento en T de este único subconjunto abierto más grande se llama el apoyo de T . [11] Así
Si es una función integrable localmente en U y si es su distribución asociada, entonces el soporte de es el subconjunto cerrado más pequeño de U en el complemento del cuales casi en todas partes igual a 0. [11] Si es continuo, entonces el apoyo de es igual al cierre del conjunto de puntos en U en el queno desaparece. [11] El apoyo de la distribución asociada con la medida de Dirac en un punto es el set [11] Si el apoyo de una función de pruebano se cruza con el soporte de una distribución T entoncesUna distribución T es 0 si y solo si su soporte está vacío. Sies idénticamente 1 en algún conjunto abierto que contiene el soporte de una distribución T entoncesSi el soporte de una distribución T es compacto, entonces tiene un orden finito y, además, hay una constante y un entero no negativo tal que: [7]
Si T tiene soporte compacto, entonces tiene una extensión única a un funcional lineal continuo. en ; este funcional se puede definir por dónde es cualquier función que es idénticamente 1 en un conjunto abierto que contiene el soporte de T . [7]
Si y luego y Por tanto, las distribuciones con soporte en un subconjunto dado formar un subespacio vectorial de [12] Además, sies un operador diferencial en U , entonces para todas las distribuciones T en U y todas tenemos y [12]
Distribuciones con soporte compacto
Soporte en un conjunto de puntos y medidas de Dirac
Para cualquier dejar denotar la distribución inducida por la medida de Dirac en Para cualquier y distribución el soporte de T está contenido ensi y solo si T es una combinación lineal finita de derivadas de la medida de Dirac en[13] Si además el orden de T es entonces existen constantes tal que: [14]
Dicho de otra manera, si T tiene soporte en un solo puntoentonces T es de hecho una combinación lineal finita de derivadas distributivas defunción en P . Es decir, existe un entero my constantes complejas tal que
dónde es el operador de traducción.
Distribución con soporte compacto
Teorema [7] - Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K . Existe una función continuadefinido en U y un multi-índice p tal que
donde los derivados se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U ,
Distribuciones de orden finito con soporte en un subconjunto abierto
Teorema [7] - Supongamos que T es una distribución en U con soporte compacto K y dejar que V sea un subconjunto abierto de U que contiene K . Dado que cada distribución con soporte compacto tiene un orden finito, tome N como el orden de T y defina Existe una familia de funciones continuas definido en U con soporte en V tal que
donde los derivados se entienden en el sentido de distribuciones. Es decir, para todas las funciones de prueba en U ,
Estructura global de distribuciones
La definición formal de distribuciones las presenta como un subespacio de un espacio muy grande, es decir, el dual topológico de (o el espacio Schwartz para distribuciones templadas). No queda claro de inmediato a partir de la definición cuán exótica puede ser una distribución. Para responder a esta pregunta, es instructivo ver distribuciones construidas a partir de un espacio más pequeño, a saber, el espacio de funciones continuas. Aproximadamente, cualquier distribución es localmente una derivada (múltiple) de una función continua. Una versión precisa de este resultado, que se muestra a continuación, es válida para distribuciones de soporte compacto, distribuciones templadas y distribuciones generales. En términos generales, ningún subconjunto adecuado del espacio de distribuciones contiene todas las funciones continuas y está cerrado bajo diferenciación. Esto dice que las distribuciones no son objetos particularmente exóticos; son tan complicados como sea necesario.
Distribuciones como gavillas
Teorema [15] - Let T ser una distribución en U . Existe una secuencia en de modo que cada T i tenga un soporte compacto y cada subconjunto compacto se cruza con el apoyo de sólo un número finito y la secuencia de sumas parciales definido por converge en a T ; en otras palabras tenemos:
Recuerde que una secuencia converge en (con su fuerte topología dual) si y solo si converge puntualmente.
Descomposición de distribuciones como sumas de derivadas de funciones continuas
Mediante la combinación de los resultados anteriores, se puede expresar cualquier distribución en U como la suma de una serie de distribuciones con soporte compacto, donde cada una de estas distribuciones pueden a su vez ser escrita como una suma finita de los derivados de la distribución de funciones continuas en U . En otras palabras para arbitrario podemos escribir:
dónde son conjuntos finitos de índices múltiples y las funciones son continuos.
Teorema [16] - Let T ser una distribución en U . Para cada multi-índice p existe una función continuaen U tal que
cualquier subconjunto compacto K de U cruza el soporte de sólo un número finito y
Además, si T tiene un orden finito, entonces se puede elegir de tal manera que sólo un número finito de ellos son distintos de cero.
Tenga en cuenta que la suma infinita anterior está bien definida como una distribución. El valor de T para un determinado se puede calcular utilizando el número finito que se cruzan con el apoyo de
Operaciones sobre distribuciones
Muchas operaciones que se definen en funciones suaves con soporte compacto también se pueden definir para distribuciones. En general, sies un mapa lineal que es continuo con respecto a la topología débil , entonces es posible extender A a un mapapasando al límite. [nota 7] [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]
Preliminares: Transposición de un operador lineal
Las operaciones en distribuciones y espacios de distribuciones a menudo se definen mediante la transposición de un operador lineal porque proporciona un enfoque unificado que las muchas definiciones en la teoría de distribuciones y debido a sus muchas propiedades topológicas bien conocidas. [17] En general, la transposición de un mapa lineal continuo es el mapa lineal definido por o equivalentemente, es el mapa único que satisface para todos y todo Dado que A es continua, la transposicióntambién es continuo cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías duales fuertes; también es continuo cuando ambos duales están dotados de sus respectivas topologías débiles * (consulte los artículos sobre topología polar y sistema dual para obtener más detalles).
En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transposición se puede refinar ligeramente. Dejarser un mapa lineal continuo. Entonces, por definición, la transpuesta de A es el operador lineal único que satisface:
Sin embargo, dado que la imagen de es denso en es suficiente que la igualdad anterior se mantenga para todas las distribuciones de la forma dónde Explícitamente, esto significa que la condición anterior se cumple si y solo si se cumple la condición siguiente:
Operadores diferenciales
Diferenciación de distribuciones
Dejar ser el operador de derivada parcial Para extender calculamos su transposición:
Por lo tanto Por lo tanto, la derivada parcial de con respecto a la coordenada está definido por la fórmula
Con esta definición, toda distribución es infinitamente diferenciable y la derivada en la dirección es un operador lineal en
De manera más general, si es un índice múltiple arbitrario , entonces la derivada parcial de la distribución es definido por
La diferenciación de distribuciones es un operador continuo en esta es una propiedad importante y deseable que no comparten la mayoría de las otras nociones de diferenciación.
Si T es una distribución en luego
dónde es la derivada de T y es la traducción por x ; por tanto, la derivada de T puede verse como un límite de cocientes. [18]
Operadores diferenciales que actúan sobre funciones suaves
Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves actúa sobre el espacio de funciones suaves en Dado tal operador nos gustaría definir un mapa lineal continuo, que extiende la acción de en a distribuciones en En otras palabras, nos gustaría definir tal que el siguiente diagrama conmuta:
donde los mapas verticales se dan asignando su distribución canónica que se define por:
Con esta notación el diagrama de desplazamiento es equivalente a:
Para encontrar la transposición del mapa inducido continuo definido por se considera en el lema siguiente. Esto conduce a la siguiente definición del operador diferencial enllamado la transposición formal de que será denotado por para evitar confusiones con el mapa de transposición, que se define por
Lema - Dejar ser un operador diferencial lineal con coeficientes suaves en Entonces para todos tenemos
que es equivalente a:
Prueba
Como se discutió anteriormente, para cualquier la transposición puede calcularse mediante:
Para la última línea usamos la integración por partes combinada con el hecho de que y por tanto todas las funciones tienen soporte compacto. [nota 8] Continuando con el cálculo anterior, para todos
El lema combinado con el hecho de que la transposición formal de la transposición formal es el operador diferencial original, es decir, [19] nos permite llegar a la definición correcta: la transposición formal induce el operador lineal canónico (continuo) definido por Afirmamos que la transposición de este mapa, se puede tomar como Para ver esto, para cada calcular su acción en una distribución de la forma con :
Llamamos al operador lineal continuo el operador diferencial en las distribuciones que se extienden P . [19] Su acción sobre una distribución arbitraria se define mediante:
Si converge a luego para cada multi-índice converge a
Multiplicación de distribuciones por funciones suaves.
Un operador diferencial de orden 0 es simplemente una multiplicación por una función suave. Y a la inversa, si es una función suave entonces es un operador diferencial de orden 0, cuya transposición formal es él mismo (es decir, ). El operador diferencial inducidomapea una distribución T a una distribución denotada por Por tanto, hemos definido la multiplicación de una distribución por una función suave.
Ahora damos una presentación alternativa de la multiplicación por una función suave. Sies una función suave y T es una distribución en U , entonces el producto es definido por
Esta definición coincide con la definición de transposición ya que si es el operador de multiplicación por la función m (es decir,), entonces
así que eso
Bajo la multiplicación por funciones suaves, es un módulo sobre el anillo Con esta definición de multiplicación por una función suave, la regla de cálculo del producto ordinario sigue siendo válida. Sin embargo, también surgen varias identidades inusuales. Por ejemplo, si es la distribución delta de Dirac en luego y si es la derivada de la distribución delta, entonces
El mapa de multiplicación bilineal dada por no es continuo; sin embargo, es hipocontinua . [20]
Ejemplo. Para cualquier distribución T , el producto de T con la función que es idénticamente 1 en U es igual a T .
Ejemplo. Suponeres una secuencia de funciones de prueba en U que converge a la función constantePara cualquier distribución T en U , la secuencia converge a [21]
Si converge a y converge a luego converge a
Problema de multiplicar distribuciones
Es fácil definir el producto de una distribución con una función suave, o más generalmente el producto de dos distribuciones cuyos soportes singulares son disjuntos. Con más esfuerzo es posible definir un producto de buen comportamiento de varias distribuciones siempre que sus conjuntos de frentes de onda en cada punto sean compatibles. Una limitación de la teoría de distribuciones (e hiperfunciones) es que no existe un producto asociativo de dos distribuciones que extiendan el producto de una distribución por una función suave, como lo demostró Laurent Schwartz en la década de 1950. Por ejemplo, sies la distribución obtenida por el valor principal de Cauchy
Si es la distribución delta de Dirac entonces
pero
por tanto, el producto de una distribución por una función suave (que siempre está bien definida) no puede extenderse a un producto asociativo en el espacio de distribuciones.
Por lo tanto, los problemas no lineales no pueden plantearse en general y, por lo tanto, no pueden resolverse solo dentro de la teoría de la distribución. En el contexto de la teoría cuántica de campos , sin embargo, se pueden encontrar soluciones. En más de dos dimensiones del espacio-tiempo, el problema está relacionado con la regularización de las divergencias . Aquí Henri Epstein y Vladimir Glaser desarrollaron la teoría de la perturbación causal matemáticamente rigurosa (pero extremadamente técnica) . Esto no resuelve el problema en otras situaciones. Muchas otras teorías interesantes no son lineales, como por ejemplo las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes .
Se han desarrollado varias teorías no del todo satisfactorias [ cita requerida ] de álgebras de funciones generalizadas , entre las cuales la álgebra de Colombeau (simplificada) es quizás la más popular en uso en la actualidad.
Inspirado por la teoría de la trayectoria aproximada de Lyons , [22] Martin Hairer propuso una forma consistente de multiplicar distribuciones con cierta estructura ( estructuras de regularidad [23] ), disponible en muchos ejemplos del análisis estocástico, en particular ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Ver también Gubinelli-Imkeller-Perkowski (2015) para un desarrollo relacionado basado en Bony 's paraproduct a partir del análisis de Fourier.
Composición con una función suave
Sea T una distribución enSea V un conjunto abierto en y Si F es una inmersión , es posible definir
Esta es la composición de la distribución T con F , y también se llama el retroceso de T a lo largo de F , a veces escrito
El retroceso a menudo se denota aunque esta notación no debe confundirse con el uso de '*' para denotar el adjunto de un mapeo lineal.
La condición de que F sea una inmersión es equivalente al requisito de que la derivada jacobianade F es un mapa lineal sobreyectivo para cada Una condición necesaria (pero no suficiente) para extender a las distribuciones es que F sea un mapeo abierto . [24] El teorema de la función inversa asegura que una inmersión satisface esta condición.
Si F es una inmersión, entoncesse define en distribuciones encontrando el mapa de transposición. La singularidad de esta extensión está garantizada ya que es un operador lineal continuo en La existencia, sin embargo, requiere el uso de la fórmula de cambio de variables , el teorema de la función inversa (localmente) y un argumento de partición de unidad . [25]
En el caso especial cuando F es un difeomorfismo de un subconjunto abierto V deen un subconjunto abierto U de cambio de variables bajo la integral da
En este caso particular, entonces, se define mediante la fórmula de transposición:
Circunvolución
En algunas circunstancias, es posible definir la convolución de una función con una distribución, o incluso la convolución de dos distribuciones. Recuerda que si y son funciones en entonces denotamos por la convolución de y , definido en ser la integral
siempre que exista la integral. Si son tales que luego para cualquier función y tenemos y [26] Si y g son funciones continuas en al menos uno de los cuales tiene soporte compacto, entonces y si entonces el valor de en un no no dependerá de los valores de fuera de la suma de Minkowski[26]
Es importante destacar que si tiene soporte compacto para cualquier el mapa de convolución es continuo cuando se considera como el mapa o como el mapa [26]
Traslación y simetría
Dado el operador de traducción envía a definido por Esto puede extenderse mediante la transposición a distribuciones de la siguiente manera: dada una distribución T , la traducción de por es la distribucion definido por [27] [28]
Dado definir la función por Dada una distribución T , sea ser la distribución definida por El operador se llama simetría con respecto al origen . [27]
Convolución de una función de prueba con una distribución
Convolución con define un mapa lineal:
que es continua con respecto a la topología espacial canónica de LF en
Convolución de con una distribución se puede definir tomando la transposición de relativo al emparejamiento de dualidad de con el espacio de distribuciones. [29] Siluego por el teorema de Fubini
Extendiéndose por continuidad, la convolución de con una distribución T se define por
Una forma alternativa de definir la convolución de una función de prueba y una distribución T es utilizar el operador de traducción La convolución de la función de soporte compacto y la distribución T es entonces la función definida para cada por
Se puede demostrar que la convolución de una función suave y con un soporte compacto y una distribución es una función suave. Si la distribución T tiene soporte compacto, entonces si es un polinomio (resp. una función exponencial, una función analítica, la restricción de una función analítica completa en a la restricción de una función completa de tipo exponencial en a ) entonces lo mismo es cierto de [27] Si la distribución T también tiene soporte compacto, entonceses una función con soporte compacto, y el teorema de convolución de Titchmarsh Hörmander (1983 , Teorema 4.3.3) implica que
dónde denota el casco convexo y sup denota el soporte.
Convolución de una función suave con una distribución
Dejar y y asumir que al menos uno de y T tiene soporte compacto. La convolución dey T , denotado por o por es la función suave: [27]
satisfactorio para todos :
Si T es una distribución, entonces el mapa es continuo como un mapa donde si además T tiene soporte compacto, entonces también es continuo como el mapa y continuo como el mapa [27]
Si es un mapa lineal continuo tal que para todos y todo entonces existe una distribucion tal que para todos [7]
Ejemplo. [7] Sea H la función Heaviside en. Para cualquier
Dejar ser la medida de Dirac en 0 y su derivada como distribución. Luego y Es importante destacar que la ley asociativa no cumple:
Convolución de distribuciones
También es posible definir la convolución de dos distribuciones S y T ensiempre que uno de ellos tenga soporte compacto. Informalmente, con el fin de definirdonde T tiene soporte compacto, la idea es extender la definición de la convolución a una operación lineal sobre distribuciones de modo que la fórmula de asociatividad
se mantiene para todas las funciones de prueba [30]
También es posible proporcionar una caracterización más explícita de la convolución de distribuciones. [29] Suponga que S y T son distribuciones y que S tiene soporte compacto. Entonces los mapas lineales
son continuos. Las transposiciones de estos mapas:
son consecuentemente continuas y también se puede demostrar que [27]
Este valor común se llama la convolución de S y T y es una distribución que se denota por o Satisface [27] Si S y T son dos distribuciones, al menos una de las cuales tiene soporte compacto, entonces para cualquier[27] Si T es una distribución en y si es una medida de Dirac entonces; [27] asíes el elemento de identidad de la operación de convolución. Además, si es una función entonces donde ahora la asociatividad de la convolución implica que para todas las funciones y
Supongamos que es T el que tiene soporte compacto. Para considera la función
Se puede demostrar fácilmente que esto define una función uniforme de que además tiene soporte compacto. La convolución de S y T está definida por
Esto generaliza la noción clásica de convolución de funciones y es compatible con la diferenciación en el siguiente sentido: para cada índice múltiple
La convolución de un número finito de distribuciones, todas las cuales (excepto posiblemente una) tienen soporte compacto, es asociativa . [27]
Esta definición de convolución sigue siendo válida bajo supuestos menos restrictivos sobre S y T . [31]
La convolución de distribuciones con soporte compacto induce un mapa bilineal continuo definido por dónde denota el espacio de distribuciones con soporte compacto. [20] Sin embargo, el mapa de convolución como funciónno es continuo [20] aunque es continuo por separado. [32] Los mapas de convolución y dada por ambos fallan en ser continuos. [20] Cada uno de estos mapas discontinuos es, sin embargo, continuo e hipocontinuo por separado . [20]
Convolución versus multiplicación
En general, se requiere regularidad para los productos de multiplicación y localidad para los productos de convolución. Se expresa en la siguiente extensión del Teorema de convolución que garantiza la existencia de productos tanto de convolución como de multiplicación. Dejar ser una distribución templada rápidamente decreciente o, de manera equivalente, ser una función ordinaria (de crecimiento lento, suave) dentro del espacio de distribuciones templadas y dejar ser la transformada de Fourier normalizada (frecuencia unitaria, ordinaria) [33] entonces, según Schwartz (1951) ,
mantener dentro del espacio de distribuciones templadas. [34] [35] [36] En particular, estas ecuaciones se convierten en la fórmula de suma de Poisson si es el peine de Dirac . [37] El espacio de todas las distribuciones templadas que disminuyen rápidamente también se denomina espacio de operadores de convolución.y el espacio de todas las funciones ordinarias dentro del espacio de distribuciones templadas también se denomina espacio de operadores de multiplicación Más generalmente, y [38] [39] Un caso particular es el Teorema de Paley-Wiener-Schwartz que establece que y Esto es porque y En otras palabras, distribuciones templadas con soporte compacto pertenecen al espacio de los operadores de convolución y funciones de Paley-Wiener más conocidas como funciones de banda limitada , pertenecen al espacio de los operadores de multiplicación[40]
Por ejemplo, deja sé el peine de Dirac y sé el delta de Dirac entonceses la función que es constantemente una y ambas ecuaciones producen la identidad de peine de Dirac . Otro ejemplo es dejar sé el peine de Dirac y ser la función rectangular entonceses la función sinc y ambas ecuaciones producen el Teorema de muestreo clásico parafunciones. De manera más general, si es el peine de Dirac y es una función de ventana suave ( función de Schwartz ), por ejemplo, la gaussiana , luegoes otra función de ventana suave (función de Schwartz). Se les conoce como atenuadores , especialmente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , o como regularizadores en física porque permiten convertir funciones generalizadas en funciones regulares .
Producto tensorial de distribuciones
Dejar y Ser conjuntos abiertos. Suponga que todos los espacios vectoriales están sobre el campo. dónde o Para definir para cada y cada las siguientes funciones:
Dado y definir las siguientes funciones:
dónde y Estas definiciones asocian cada y con el mapa lineal continuo (respectivo):
Además, si cualquiera (resp. ) tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). [41]
Teorema de Fubini para distribuciones [41] - Sea y Si luego
El producto tensorial de y denotado por o es la distribución en definido por: [41]
Espacios de distribuciones
Para todos y todo cada una de las siguientes inyecciones canónicas es continua y tiene una imagen (también llamada rango) que es un subconjunto denso de su codominio:
donde las topologías en ( ) se definen como límites directos de los espacios de una manera análoga a cómo las topologías en se definieron (por lo que, en particular, no son las topologías de norma habituales). El rango de cada uno de los mapas anteriores (y de cualquier composición de los mapas anteriores) es denso en su codominio. [42]
Suponer que es uno de los espacios (por ) o (por ) o (por ). Porque la inyección canónicaes una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transposición de este mapa es una inyección continua. Este mapa de transposición inyectiva permite así el espacio dual continuo de identificarse con un cierto subespacio vectorial del espacio de todas las distribuciones (específicamente, se identifica con la imagen de este mapa de transposición). Este mapa de transposición es continua pero es no necesariamente una inmersión topológica . Un subespacio lineal de llevando una topología localmente convexa que es más fina que la topología subespacial inducida por se llama espacio de distribuciones . [43] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta forma (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden algunos enteros, distribuciones inducidas por una medida de radón positiva, distribuciones inducidas por una -función, etc.) y cualquier teorema de representación sobre el espacio dual continuo de puede, a través de la transposición ser transferido directamente a elementos del espacio
Medidas de radón
El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua.
Tenga en cuenta que el espacio dual continuo se puede identificar como el espacio de medidas de radón , donde hay una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales continuose integral con respecto a una medida de radón; es decir,
Si entonces existe una medida de radón en U tal que para todos y
Si es una medida de radón en U, luego el funcional lineal en definido enviando a es continuo.
A través de la inyección cada medida de Radon se convierte en una distribución en U . Sies una función integrable localmente en U, entonces la distribuciónes una medida de radón; por lo que las medidas de radón forman un gran e importante espacio de distribuciones.
El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de radón , que muestra que cada medida de radón se puede escribir como una suma de derivadas de localmentefunciones en U :
Teorema. [15] - Supongamos es una medida de radón, es una vecindad del soporte de T , y Existe una familia de local funciona en U tal que
y por muy
Medidas positivas de radón
Una función lineal en un espacio de funciones se llama positivo si siempre que una función que pertenece al dominio de no es negativo (es decir, es de valor real y ) luego Se puede mostrar que todo funcional lineal positivo en es necesariamente continuo (es decir, necesariamente una medida de radón). [44] La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida positiva de radón.
Funciones integrables localmente como distribuciones
Una clase particularmente importante de medidas de radón son las que son funciones inducidas localmente integrables. La funciónse llama localmente integrable si es Lebesgue integrable sobre cada subconjunto compacto K de U . [nota 9] Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todo el espacio Lp funciones. La topología en se define de tal manera que cualquier función integrable localmente produce un funcional lineal continuo en - es decir, un elemento de - denotado aquí por cuyo valor en la función de prueba viene dada por la integral de Lebesgue:
Convencionalmente, se abusa de la notación identificando con siempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, la combinación entre y a menudo se escribe
Si y son dos funciones integrables localmente, entonces las distribuciones asociadas y son iguales al mismo elemento de si y solo si y son iguales en casi todas partes (véase, por ejemplo, Hörmander (1983 , Teorema 1.2.5)). De manera similar, cada medida de radón en define un elemento de cuyo valor en la función de prueba es Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de radón y una función de prueba como A la inversa, como se muestra en un teorema de Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), toda distribución que no sea negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de radón (positiva).
Funciones de prueba como distribuciones
Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por lo tanto, definen distribuciones. El espacio de las funciones de pruebaes secuencialmente denso en con respecto a la topología fuerte en [45] Esto significa que para cualquier hay una secuencia de funciones de prueba, que converge a (en su fuerte topología dual) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalente,
Distribuciones con soporte compacto
El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que el mapa de transposición también es una inyección continua. Así, la imagen de la transposición, denotada porforma un espacio de distribuciones. [12]
Los elementos de Se puede identificar como el espacio de distribuciones con soporte compacto. [12] Explícitamente, sies una distribución en U, entonces las siguientes son equivalentes,
El apoyo de es compacto.
La restricción de a cuando ese espacio está equipado con la topología subespacial heredada de (una topología más burda que la topología LF canónica), es continua. [12]
Hay un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de pruebacuyo apoyo está completamente fuera de K , tenemos
Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuos en el espacio ; recuerde que la topología en se define de tal manera que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y solo si todas las derivadas de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U . Por el contrario, se puede demostrar que cada funcional lineal continuo en este espacio define una distribución de soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender desde a
Distribuciones de orden finito
Dejar El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotado por forma un espacio de distribuciones. Los elementos deson las distribuciones de orden[15] Las distribuciones de ordenque también se denominan distribuciones de orden 0 , son exactamente las distribuciones que son medidas de radón (descritas anteriormente).
Para una distribución de orden k es una distribución de orden eso no es una distribucion de orden [15]
Se dice que una distribución es de orden finito si hay algún número entero k tal que sea una distribución de orden y el conjunto de distribuciones de orden finito se denota por Tenga en cuenta que si luego así que eso es un subespacio vectorial de y además, si y solo si [15]
Estructura de distribuciones de orden finito
Toda distribución con soporte compacto en U es una distribución de orden finito. [15] De hecho, toda distribución en U es localmente una distribución de orden finito, en el siguiente sentido: [15] Si V es un subconjunto abierto y relativamente compacto de U y sies el mapeo de restricción de U a V , luego la imagen de debajo está contenido en
El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de orden finito, que muestra que toda distribución de orden finito se puede escribir como una suma de derivadas de medidas de radón :
Teorema [15] - Suponga tiene un orden finito y Dado cualquier subconjunto abierto V de U que contenga el soporte de T , hay una familia de medidas de radón en U , tal que por muy y
Ejemplo. (Distribuciones de orden infinito) Sea y para cada función de prueba dejar
Entonces S es una distribución de orden infinito en U . Además, S no se puede extender a una distribución en; es decir, no existe una distribución T ental que la restricción de T a T es igual a S . [46]
Distribuciones templadas y transformada de Fourier
A continuación se definen las distribuciones templadas , que forman un subespacio de el espacio de distribuciones en Este es un subespacio adecuado: mientras que toda distribución templada es una distribución y un elemento de lo contrario no es cierto. Las distribuciones templadas son útiles si se estudia la transformada de Fourier ya que todas las distribuciones templadas tienen una transformada de Fourier, lo cual no es cierto para una distribución arbitraria en
Espacio Schwartz
El espacio Schwartz ,es el espacio de todas las funciones suaves que disminuyen rápidamente en el infinito junto con todas las derivadas parciales. Por lo tanto está en el espacio de Schwartz siempre que cualquier derivado de multiplicado con cualquier poder de converge a 0 como Estas funciones forman un TVS completo con una familia de seminormas adecuadamente definida . Más precisamente, para cualquier multiíndice y definir:
Luego está en el espacio de Schwartz si todos los valores satisfacen:
La familia de seminormas define una topología localmente convexa en el espacio de Schwartz. Paralos seminarios son, de hecho, normas en el espacio Schwartz. También se puede utilizar la siguiente familia de seminormas para definir la topología: [47]
De lo contrario, se puede definir una norma sobre vía
El espacio de Schwartz es un espacio de Fréchet (es decir, un espacio completamente convexo localmente metrizable ). Porque la transformada de Fourier cambia en multiplicación por y viceversa, esta simetría implica que la transformada de Fourier de una función de Schwartz también es una función de Schwartz.
Una secuencia en converge a 0 en si y solo si las funciones convergen a 0 uniformemente en el conjunto de lo que implica que tal secuencia debe converger a cero en [47]
es denso en El subconjunto de todas las funciones analíticas de Schwartz es denso en también. [48]
El espacio de Schwartz es nuclear y el producto tensorial de dos mapas induce un TVS-isomorfismos sobreyectivos canónicos
dónde representa la finalización del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntico a la finalización del producto tensorial proyectivo ). [49]
Distribuciones templadas
El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transposición también es una inyección continua. Así, la imagen del mapa de transposición, denotada por forma un espacio de distribuciones.
El espacio se llama el espacio de distribuciones templadas . Es el espacio dual continuo del espacio Schwartz. De manera equivalente, una distribución T es una distribución templada si y solo si
La derivada de una distribución templada es nuevamente una distribución templada. Las distribuciones templadas generalizan las funciones integrables localmente limitadas (o de crecimiento lento); todas las distribuciones con soporte compacto y todas las funciones integrables en cuadrado son distribuciones templadas. De manera más general, todas las funciones que son productos de polinomios con elementos de espacio Lp por son distribuciones templadas.
Las distribuciones templadas también se pueden caracterizar como de crecimiento lento , lo que significa que cada derivada de T crece como máximo tan rápido como algún polinomio . Esta caracterización es dual al comportamiento de rápida caída de las derivadas de una función en el espacio de Schwartz, donde cada derivada de decae más rápido que cada potencia inversa de Un ejemplo de una función que cae rápidamente es para cualquier positivo
Transformada de Fourier
Para estudiar la transformada de Fourier, es mejor considerar funciones de prueba de valores complejos y distribuciones lineales complejas. La transformada de Fourier continua ordinaria es un automorfismo TVS del espacio de Schwartz, y la transformada de Fourier se define como su transposición que (abusando de la notación) será nuevamente denotado por Entonces, la transformada de Fourier de la distribución templada T se define por para cada función de Schwartz es así de nuevo una distribución templada. La transformada de Fourier es un isomorfismo TVS del espacio de distribuciones templadas sobre sí mismo. Esta operación es compatible con la diferenciación en el sentido de que
y también con convolución: si T es una distribución templada y es una función suave que aumenta lentamente en es de nuevo una distribución templada y
es la convolución de y En particular, la transformada de Fourier de la función constante igual a 1 es la distribución.
Expresando distribuciones templadas como sumas de derivadas
Si es una distribución templada, entonces existe una constante y enteros positivos y tal que para todas las funciones de Schwartz
Esta estimación, junto con algunas técnicas del análisis funcional, se puede utilizar para mostrar que hay una función continua que aumenta lentamente y un multi-índice tal que
Restricción de distribuciones a conjuntos compactos
Si luego para cualquier conjunto compacto existe una función continua soportado de forma compacta en (posiblemente en un conjunto más grande que el propio K ) y un multi-índice tal que en
Usar funciones holomórficas como funciones de prueba
El éxito de la teoría llevó a la investigación de la idea de hiperfunción , en la que los espacios de funciones holomórficas se utilizan como funciones de prueba. Una teoría refinado ha sido desarrollado, en particular, Mikio Sato 's análisis algebraico , utilizando la teoría de haces y varias variables complejas . Esto amplía la gama de métodos simbólicos que se pueden convertir en matemáticas rigurosas, por ejemplo, integrales de Feynman .
Ver también
Álgebra de Colombeau
Actual (matemáticas)
Distribución (teoría de números)
Distribución en un grupo algebraico lineal: función lineal que satisface una condición de apoyo
Gelfand triple
Función generalizada
Distribución homogénea
Hiperfunción : tipo de función generalizada
Laplaciano del indicador
Límite de una distribución
Forma lineal: mapa lineal desde un espacio vectorial hasta su campo de escalares
Teorema de Malgrange-Ehrenpreis
Operador pseudodiferencial
Teorema de representación de Riesz
Topología vaga
Solución débil
Notas
^resulta también lineal y continuo cuando al espacio de las funciones de prueba se le da una cierta topología llamada topología LF canónica .
^ Tenga en cuenta que i siendo un número entero implica Esto a veces se expresa como Desde la desigualdad "" medio: Si mientras que si entonces significa
^ La imagen del conjunto compacto bajo un continuo -mapa valorado (p. ej. por ) es en sí mismo un subconjunto compacto , y por tanto limitado, de Si entonces esto implica que cada una de las funciones definidas anteriormente es -valuado (es decir, ninguno de los supremums anteriores es igual a).
^ Aunque la topología de no es metrizable, un funcional lineal en es continuo si y solo si es secuencialmente continuo.
^ Una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
^ Sitambién se dirige bajo la comparación de funciones habituales, entonces podemos considerar que la colección finita consta de un solo elemento.
^ Este enfoque también funciona para asignaciones no lineales, siempre que se asuma que son uniformemente continuas .
^ Por ejemplo, deje y tomar para ser la derivada ordinaria para funciones de una variable real y asumir el apoyo de estar contenido en el intervalo finito entonces desde
donde la última igualdad es porque
^ Para obtener más información sobre dicha clase de funciones, consulte la entrada sobre funciones integrables localmente .
Referencias
↑ a b Trèves , 2006 , págs. 222-223.
^ a b Véase, por ejemplo, Grubb 2009 , p. 14.
^ Trèves , 2006 , págs. 85-89.
↑ a b Trèves , 2006 , págs. 142-149.
^ Trèves , 2006 , págs. 356-358.
↑ a b Trèves , 2006 , págs. 131-134.
↑ a b c d e f g Rudin , 1991 , págs. 149-181.
^ Trèves , 2006 , págs. 526-534.
^ Trèves , 2006 , p. 357.
↑ a b Trèves , 2006 , págs. 245-247.
↑ a b c d e f g Trèves , 2006 , págs. 253-255.
↑ a b c d e Trèves , 2006 , págs. 255-257.
^ Trèves , 2006 , págs. 264-266.
^ Rudin 1991 , p. 165.
↑ a b c d e f g h Trèves , 2006 , págs. 258-264.
^ Rudin 1991 , págs. 169-170.
^ Strichartz 1994 , §2.3; Trèves 2006 .
^ Rudin 1991 , p. 180.
↑ a b Trèves , 2006 , págs. 247-252.
↑ a b c d e Trèves , 2006 , p. 423.
^ Trèves , 2006 , p. 261.
^ Lyons, T. (1998). "Ecuaciones diferenciales impulsadas por señales aproximadas" . Revista Matemática Iberoamericana : 215–310. doi : 10.4171 / RMI / 240 .
^Hairer, Martín (2014). "Una teoría de las estructuras de regularidad". Inventiones Mathematicae . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303.5113 . Código Bibliográfico : 2014InMat.198..269H . doi : 10.1007 / s00222-014-0505-4 .
^ Véase, por ejemplo, Hörmander 1983 , Teorema 6.1.1.
^ Ver Hörmander 1983 , Teorema 6.1.2.
↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 278-283.
↑ a b c d e f g h i j Trèves , 2006 , págs. 284-297.
^ Véase, por ejemplo, Rudin 1991 , §6.29.
↑ a b Trèves , 2006 , Capítulo 27.
↑ Hörmander 1983 , §IV.2 demuestra la singularidad de tal extensión.
↑ Véase, por ejemplo, Gel'fand & Shilov 1966-1968 , v. 1, págs. 103-104 y Benedetto 1997 , Definición 2.5.8.
^ Trèves , 2006 , p. 294.
^Folland, GB (1989). Análisis armónico en el espacio de fase . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.
^Horváth, John (1966). Espacios y distribuciones vectoriales topológicas . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.
^Barros-Neto, José (1973). Introducción a la teoría de distribuciones . Nueva York, NY: Dekker.
^Petersen, Bent E. (1983). Introducción a la transformada de Fourier y los operadores pseudodiferenciales . Boston, MA: Pitman Publishing.
^Woodward, PM (1953). Teoría de la probabilidad y la información con aplicaciones al radar . Oxford, Reino Unido: Pergamon Press.
^ Trèves , 2006 , págs. 318-319.
^Friedlander, FG; Joshi, MS (1998). Introducción a la teoría de distribuciones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press.
^ Schwartz 1951 .
↑ a b c Trèves , 2006 , págs. 416-419.
^ Trèves , 2006 , págs. 150-160.
^ Trèves , 2006 , págs. 240-252.
^ Trèves , 2006 , p. 218.
^ Trèves , 2006 , págs. 300-304.
^ Rudin 1991 , págs. 177-181.
↑ a b Trèves , 2006 , págs. 92-94.
^ Trèves , 2006 , págs. 160.
^ Trèves , 2006 , p. 531.
Bibliografía
Barros-Neto, José (1973). Introducción a la teoría de distribuciones . Nueva York, NY: Dekker.
Benedetto, JJ (1997), Análisis armónico y aplicaciones , CRC Press.
Folland, GB (1989). Análisis armónico en el espacio de fase . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.
Friedlander, FG; Joshi, MS (1998). Introducción a la teoría de distribuciones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press..
Gårding, L. (1997), Algunos puntos de análisis y su historia , American Mathematical Society.
Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1966-1968), Funciones generalizadas , 1-5 , Academic Press.
Grubb, G. (2009), Distribuciones y operadores , Springer.
Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
Horváth, John (1966). Espacios y distribuciones vectoriales topológicas . Serie de Addison-Wesley en matemáticas. 1 . Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional . Libros de Dover sobre matemáticas. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626 .
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Petersen, Bent E. (1983). Introducción a la transformada de Fourier y los operadores pseudodiferenciales . Boston, MA: Pitman Publishing..
Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schwartz, Laurent (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions", CR Acad. Sci. París , 239 : 847–848.
Schwartz, Laurent (1951), Théorie des distributions , 1-2 , Hermann.
Sobolev, SL (1936), "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales" , Mat. Sbornik , 1 : 39–72.
Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Woodward, PM (1953). Teoría de la probabilidad y la información con aplicaciones al radar . Oxford, Reino Unido: Pergamon Press.
Otras lecturas
MJ Lighthill (1959). Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09128-4 (requiere muy poco conocimiento de análisis; define distribuciones como límites de secuencias de funciones bajo integrales)
VS Vladimirov (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor y Francis. ISBN 0-415-27356-0
Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press.
Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, espacio de" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada, derivada de a" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, producto de" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Álgebras de funciones generalizadas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press.