En matemáticas , el grupo de Brauer de un campo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras simples centrales sobre K , con suma dada por el producto tensorial de álgebras. Fue definido por el algebrista Richard Brauer .
El grupo de Brauer surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división sobre un campo. También se puede definir en términos de cohomología de Galois . De manera más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya , o de manera equivalente utilizando paquetes proyectivos .
Un álgebra simple central (CSA) sobre un campo K es una K - álgebra A asociativa de dimensión finita tal que A es un anillo simple y el centro de A es igual a K. Tenga en cuenta que, en general, las CSA no son álgebras de división, aunque las CSA se pueden usar para clasificar las álgebras de división.
Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre R (el centro es el mismo C , por lo que es demasiado grande para ser CSA sobre R ). Las álgebras de división de dimensión finita con centro R (eso significa que la dimensión sobre R es finita) son los números reales y los cuaterniones por un teorema de Frobenius , mientras que cualquier matriz suena sobre los reales o cuaterniones – M( n , R ) o M ( n , H ) – es un CSA sobre los reales, pero no un álgebra de división (si n > 1).
Obtenemos una relación de equivalencia de CSA sobre K mediante el teorema de Artin-Wedderburn ( la parte de Wedderburn , de hecho), para expresar cualquier CSA como M( n , D ) para algún álgebra de división D . Si nos fijamos solo en D , es decir, si imponemos una relación de equivalencia que identifique M( m , D ) con M( n , D ) para todos los enteros positivos m y n , obtenemos la relación de equivalencia de Brauer en CSA sobre K. Los elementos del grupo de Brauer son las clases de equivalencia de Brauer de CSA sobre K .
Dadas las álgebras centrales simples A y B , se puede ver su producto tensorial A ⊗ B como una K -álgebra (ver producto tensorial de R-álgebras ). Resulta que esto siempre es central simple. Una forma ingeniosa de ver esto es usar una caracterización: un álgebra simple central A sobre K es un álgebra K que se convierte en un anillo de matriz cuando extendemos el campo de escalares a un cierre algebraico de K . Este resultado también muestra que la dimensión de un álgebra simple central A como un K-el espacio vectorial es siempre un cuadrado. El grado de A se define como la raíz cuadrada de su dimensión.