En matemáticas , un álgebra de Azumaya es una generalización de álgebras centrales simples a R -álgebras donde R no necesita ser un campo . Tal noción se introdujo en un artículo de 1951 de Goro Azumaya , para el caso en el que R es un anillo local conmutativo . La noción se desarrolló aún más en la teoría de anillos y en la geometría algebraica , donde Alexander Grothendieck la convirtió en la base de su teoría geométrica del grupo Brauer en los seminarios de Bourbaki.de 1964 a 1965. Ahora hay varios puntos de acceso a las definiciones básicas.
Sobre un anillo
Un álgebra de Azumaya [1] sobre un anillo conmutativo es un -álgebra que es finitamente generado, fiel y proyectivo como un -módulo, tal que el producto tensor (dónde es el álgebra opuesta ) es isomorfo al álgebra matricial a través del envío de mapas al endomorfismo de .
Ejemplos sobre un campo
Sobre un campo , Las álgebras de Azumaya están completamente clasificadas por el teorema de Artin-Wedderburn ya que son las mismas que las álgebras centrales simples . Estas son álgebras isomorfas al anillo de la matriz. para algo de álgebra de división encima . Por ejemplo, las álgebras de cuaterniones proporcionan ejemplos de álgebras centrales simples.
Ejemplos sobre anillos locales
Dado un anillo conmutativo local , un -álgebra es Azumaya si y solo si A está libre de rango finito positivo como módulo R, y el álgebra es un álgebra simple central sobre , por lo tanto, todos los ejemplos provienen de álgebras centrales simples sobre .
Álgebras cíclicas
Hay una clase de álgebras de Azumaya llamadas álgebras cíclicas que generan todas las clases de similitud de álgebras de Azumaya sobre un campo. , de ahí todos los elementos del grupo Brauer (definido a continuación). Dada una extensión cíclica finita del campo de Galois de grado , para cada y cualquier generador hay un anillo polinomial retorcido , también denotado , generado por un elemento tal que
y se mantiene la siguiente propiedad de conmutación:
Como un espacio vectorial sobre , tiene base con multiplicación dada por
Tenga en cuenta que dan una variedad geométricamente integral [2] , también hay un álgebra cíclica asociada para la extensión del campo del cociente .
Brauer grupo de un anillo
Sobre los campos, existe una clasificación cohomológica de las álgebras de Azumaya utilizando la cohomología de Étale . De hecho, este grupo, llamado grupo de Brauer , también se puede definir como las clases de similitud [1] : 3 de las álgebras de Azumaya sobre un anillo, donde suena son similares si hay un isomorfismo
de anillos para algunos números naturales . Entonces, esta equivalencia es de hecho una relación de equivalencia, y si, , luego , mostrando
es una operación bien definida. Esto forma una estructura de grupo en el conjunto de tales clases de equivalencia llamado grupo de Brauer , denotado. Otra definición la da el subgrupo de torsión del grupo de cohomología etale
que se denomina grupo cohomológico de Brauer . Estas dos definiciones concuerdan cuando es un campo.
Grupo Brauer utilizando cohomología de Galois
Existe otra definición equivalente del grupo Brauer utilizando la cohomología de Galois . Para una extensión de campo hay un grupo Brauer cohomológico definido como
y el grupo cohomológico Brauer para Se define como
donde el colimit se toma sobre todas las extensiones finitas del campo de Galois.
Computación para un campo local
Sobre un campo local no arquimediano , como los números p-ádicos , la teoría del campo de clases local da el isomorfismo de los grupos abelianos: [3] pág. 193
Esto se debe a que dadas las extensiones de campo abeliano hay una breve secuencia exacta de grupos de Galois
y de la teoría de campos de clases locales, existe el siguiente diagrama conmutativo: [4]
donde los mapas verticales son isomorfismos y los mapas horizontales son inyecciones.
n-torsión para un campo
Recuerde que existe la secuencia de Kummer [5]
dando una larga secuencia exacta en cohomología para un campo . Dado que el teorema 90 de Hilbert implica, hay una secuencia exacta corta asociada
mostrando el segundo grupo de cohomología etale con coeficientes en las raíces n-ésimas de la unidad es
Generadores de clases de n-torsión en el Grupo Brauer sobre un campo
El símbolo de Galois , o símbolo de residuo normativo, es un mapa del grupo de teoría K de Milnor de n-torsión al grupo de cohomología etale , denotado por
Proviene de la composición del producto de taza en cohomología etale con el isomorfismo del Teorema 90 de Hilbert.
por eso
Resulta que este mapa se basa en , cuya clase para está representado por un álgebra cíclica . Para la extensión Kummer dónde , toma un generador del grupo cíclico, y construir . Existe una construcción alternativa, pero equivalente, a través de la cohomología de Galois y la cohomología etale. Considere la breve secuencia exacta de trivial-módulos
La secuencia larga exacta produce un mapa
Por el carácter único
con , hay un ascensor único
y
nota la clase es del mapa del teorema de Hilbert 90 . Entonces, dado que existe una raíz primitiva de unidad, también hay una clase
Resulta que esta es precisamente la clase . Debido al teorema del isomorfismo del residuo normativo , es un isomorfismo y el -clases de torsión en son generados por las álgebras cíclicas .
Teorema de Skolem-Noether
Uno de los resultados importantes de la estructura de las álgebras de Azumaya es el teorema de Skolem-Noether : dado un anillo conmutativo local y un álgebra de Azumaya , los únicos automorfismos de son interiores. Es decir, el siguiente mapa es sobreyectivo:
dónde es el grupo de unidades enEsto es importante porque se relaciona directamente con la clasificación cohomológica de clases de similitud de álgebras de Azumaya sobre un esquema. En particular, implica que un álgebra de Azumaya tiene estructura de grupo para algunos , y el grupo de cohomología Čech
da una clasificación cohomológica de tales paquetes. Entonces, esto puede estar relacionado con usando la secuencia exacta
Resulta que la imagen de es un subgrupo del subgrupo de torsión .
En un esquema
Un álgebra de Azumaya en un esquema X con estructura de gavilla , según el seminario original de Grothendieck, es una gavilla de -álgebras que es étale localmente isomorfo a una gavilla de álgebra matricial; Sin embargo, se debe agregar la condición de que cada haz de álgebra matricial sea de rango positivo. Esta definición hace que un álgebra de Azumaya en una 'forma retorcida' de la gavilla . Milne, Étale Cohomology , parte de la definición de que es una gavilla de -álgebras cuyo tallo en cada punto es un álgebra de Azumaya sobre el anillo local en el sentido dado anteriormente.
Dos álgebras de Azumaya y son equivalentes si existen gavillas libres localmente y de rango positivo finito en cada punto tal que
- [1] : 6
dónde es el haz de endomorfismo de . El grupo Brauerde X (un análogo del grupo de Brauer de un campo) es el conjunto de clases de equivalencia de las álgebras de Azumaya. La operación de grupo viene dada por el producto tensorial y la inversa está dada por el álgebra opuesta. Tenga en cuenta que esto es distinto del grupo cohomológico Brauer que se define como.
Ejemplo sobre especificación (Z [1 / n])
La construcción de un álgebra de cuaterniones sobre un campo se puede globalizar para considerando el no conmutativo -álgebra
entonces, como un haz de -álgebras, tiene la estructura de un álgebra de Azumaya. La razón para restringir al conjunto afín abierto es porque el álgebra de cuaterniones es un álgebra de división sobre los puntos es y solo si el símbolo de Hilbert
lo cual es cierto en todo menos en un número finito de números primos.
Ejemplo sobre P n
Encima Las álgebras de Azumaya se pueden construir como para un álgebra de Azumaya sobre un campo . Por ejemplo, la gavilla de endomorfismo de es la matriz de la gavilla
así que un álgebra de Azumaya sobre se puede construir a partir de esta gavilla tensada con un álgebra de Azumaya encima , como el álgebra de cuaterniones.
Aplicaciones
Ha habido aplicaciones significativas de las álgebras de Azumaya en geometría diofántica , siguiendo el trabajo de Yuri Manin . La obstrucción de Manin al principio de Hasse se define utilizando el grupo de esquemas de Brauer.
Ver también
- Gerbe
- Teoría del campo de clase
- Teoría K algebraica
- Cohomología motivacional
- Teorema de isomorfismo de residuo normativo
Referencias
- ↑ a b c Milne, JS, 1942- (1980). Étale cohomology (PDF) . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08238-3. OCLC 5028959 . Archivado desde el original (PDF) el 21 de junio de 2020.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ lo que significa que es una variedad integral cuando se extiende al cierre algebraico de su campo base
- ^ Serre, Jean-Pierre. (1979). Campos locales . Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4757-5673-9. OCLC 859586064 .
- ^ "Conferencias sobre teoría de campo de clases cohomológicas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 22 de junio de 2020.
- ^ a b Srinivas, V. (1994). "8. El teorema de Merkurjev-Suslin". Teoría K algebraica (Segunda ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. págs. 145-193. ISBN 978-0-8176-4739-1. OCLC 853264222 .
Grupo Brauer y álgebras de Azumaya
- Milne, John. Etale cohomology . Capítulo IV
- Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974), Théorie de la descente et algèbres d'Azumaya , Lecture Notes in Mathematics, 389 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0057799 , MR 0417149 , Zbl 0284.13002
- Mathoverflow Thread sobre " Ejemplos explícitos de álgebras de Azumaya "
Álgebras de división
- Knus, Max-Albert (1991), formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294 , Berlín, etc .: Springer-Verlag , ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008
- Saltman, David J. (1999). Conferencias sobre álgebras de división . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 94 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0979-2. Zbl 0934.16013 .