Filtro de Sinc

La función sinc normalizada , la respuesta al impulso del filtro sinc.

La función rectangular , la respuesta de frecuencia del filtro sinc.

En el procesamiento de señales , un filtro sinc es un filtro idealizado que elimina todos los componentes de frecuencia por encima de una frecuencia de corte determinada , sin afectar las frecuencias más bajas, y tiene una respuesta de fase lineal . La respuesta al impulso del filtro es una función sinc en el dominio del tiempo y su respuesta de frecuencia es una función rectangular .

Es un filtro de paso bajo "ideal" en el sentido de la frecuencia, pasando perfectamente las bajas frecuencias, cortando perfectamente las altas frecuencias; y por lo tanto puede considerarse un filtro de pared de ladrillos .

Los filtros en tiempo real solo pueden aproximarse a este ideal, ya que un filtro sinc ideal (también conocido como filtro rectangular ) no es causal y tiene un retraso infinito, pero se encuentra comúnmente en demostraciones o demostraciones conceptuales, como el teorema de muestreo y el Whittaker– Fórmula de interpolación de Shannon .

En términos matemáticos, la respuesta de frecuencia deseada es la función rectangular :

${\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|f|=B,\\1,&{\text{if }}|f|<B,\end{cases}}}$

donde es una frecuencia de corte arbitraria (también conocida como ancho de banda ). La respuesta al impulso de dicho filtro viene dada por la transformada de Fourier inversa de la respuesta de frecuencia:${\displaystyle B\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}}$

donde sinc es la función sinc normalizada .

Como el filtro sinc tiene una respuesta de impulso infinita en direcciones de tiempo tanto positivas como negativas, debe aproximarse para aplicaciones del mundo real (no abstractas); En su lugar, a menudo se usa un filtro sinc con ventana . Hacer ventanas y truncar un kernel de filtro sinc para usarlo en cualquier conjunto de datos práctico del mundo real reduce sus propiedades ideales.

Filtros de pared de ladrillo

Un filtro electrónico idealizado , que tiene transmisión completa en la banda de paso y atenuación completa en la banda de parada, con transiciones abruptas, se conoce coloquialmente como "filtro de pared de ladrillo", en referencia a la forma de la función de transferencia . El filtro sinc es un filtro de paso bajo de pared de ladrillo, a partir del cual se construyen fácilmente filtros de paso de banda y filtros de paso alto de pared de ladrillo .

El filtro de paso bajo con corte de pared de ladrillo a la frecuencia B _L tiene una función de transferencia y respuesta de impulso dada por:

${\displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

El filtro de paso de banda con borde de banda inferior B _L y borde de banda superior B _H es solo la diferencia de dos de estos filtros sinc (dado que los filtros son de fase cero, sus respuestas de magnitud se restan directamente): ^[1]

${\displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

El filtro de paso alto con borde de banda inferior B _H es solo un filtro transparente menos un filtro sinc, lo que deja en claro que la función delta de Dirac es el límite de un filtro sinc estrecho en el tiempo:

${\displaystyle h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)}$

${\displaystyle H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).}$

Los filtros de pared de ladrillo que se ejecutan en tiempo real no son físicamente realizables, ya que tienen una latencia infinita (es decir, su soporte compacto en el dominio de la frecuencia obliga a su respuesta de tiempo a no tener un soporte compacto, lo que significa que es duradero) y un orden infinito (es decir, la respuesta no se puede expresar como una ecuación diferencial lineal con una suma finita), pero a veces se utilizan implementaciones aproximadas y con frecuencia se les llama filtros de pared de ladrillo. ^{[ cita requerida ]}

Sinc en el dominio de la frecuencia

El nombre "filtro sinc" se aplica también a la forma del filtro que es rectangular en el tiempo y una función sinc en frecuencia, a diferencia del filtro sinc de paso bajo ideal, que es sinc en el tiempo y rectangular en frecuencia. En caso de confusión, uno puede referirse a estos como sinc-en-frecuencia y sinc-en-tiempo, según el dominio en el que se sinc el filtro.

Los filtros CIC Sinc en frecuencia , entre muchas otras aplicaciones, se utilizan casi universalmente para diezmar los ADC delta-sigma , ya que son fáciles de implementar y casi óptimos para este uso. ^[2]

La implementación más simple de un filtro Sinc en frecuencia es un filtro de promedio de grupo, también conocido como filtro de acumulación y volcado. Este filtro también realiza una reducción de la tasa de datos.

Función de transmisión de filtro de un filtro de promedio de grupo de 4 muestras

Recopila N muestras de datos, las acumula y proporciona el valor del acumulador como salida. Por lo tanto, el factor de decimación de este filtro es N . Puede modelarse como un filtro FIR con todos los N coeficientes iguales, seguido de un bloque de reducción de resolución de N tiempos. La simplicidad del filtro, que requiere solo un acumulador como bloque central de procesamiento de datos, se ve frustrada con fuertes efectos de alias: un filtro de N muestra alias todos los componentes de señal atenuados y no atenuados que se encuentran por encima de la banda base que van de 0 a ( f _S es la muestra de entrada índice).${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$

Función de transmisión de filtro de un filtro de promedio de grupo de 32 muestras

Un filtro de promedio de grupo que procesa N muestras tiene N / 2 ceros de transmisión.
La imagen "función de transmisión de un filtro de promediado de grupo de 16 muestras" muestra cómo se ve la función de transmisión por encima de la frecuencia de Nyquist.

función de transmisión de un filtro de promedio de grupo de 16 muestras que funciona con una velocidad de datos de entrada de 1 kHz, ampliada a 4 veces la frecuencia de Nyquist

Estabilidad

El filtro sinc no es estable entre entrada y salida acotada (BIBO) . Es decir, una entrada acotada puede producir una salida ilimitada, porque la integral del valor absoluto de la función sinc es infinita. Una entrada acotada que produce una salida ilimitada es sgn (sinc ( t )). Otro es sin (2 π Bt ) u ( t ), una onda sinusoidal que comienza en el tiempo 0, en la frecuencia de corte.

Ver también

• Remuestreo de Lanczos
• Aliasing
• Filtro antiplegamiento

Referencias

1. Mark Owen (2007). Práctico procesamiento de señales . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 81. ISBN 978-0-521-85478-8.
2. Chou, W .; Meng, TH; Gray, RM (1990). "Análisis en el dominio del tiempo de la modulación sigma delta". Procesamiento de acústica, habla y señales . 3 : 1751-1754. doi : 10.1109 / ICASSP.1990.115820 .

enlaces externos

• Filtros digitales de pared de ladrillo y desviaciones de fase
• Filtros de pared de ladrillo