En matemáticas, un número de Brjuno es un tipo especial de número irracional .
Definicion formal
Un numero irracional se llama número de Brjuno cuando la suma infinita
converge a un número finito
Aquí:
- es el denominador del n- ésimo convergente de la expansión de la fracción continua de.
- es una función de Brjuno
Nombre
Los números de Brjuno llevan el nombre de Alexander Bruno , quien los introdujo en Brjuno (1971) ; también se escriben ocasionalmente números de Bruno o números de Bryuno .
Importancia
Los números de Brjuno son importantes en los problemas analíticos de pequeños divisores unidimensionales. Bruno mejoró la condición diofántica en el teorema de Siegel, mostró que los gérmenes de funciones holomorfas con parte linealson linealizables sies un número de Brjuno. Jean-Christophe Yoccoz ( 1995 ) demostró en 1987 que esta condición también es necesaria, y para polinomios cuadráticos es necesaria y suficiente.
Propiedades
Intuitivamente, estos números no tienen muchos "saltos" grandes en la secuencia de convergentes, en los que el denominador del ( n + 1) ésimo convergente es exponencialmente mayor que el del n ésimo convergente. Por lo tanto, a diferencia de los números de Liouville , no tienen aproximaciones diofánticas inusualmente precisas por números racionales .
Función Brjuno
La verdadera función de Brjuno se define para x irracional y satisface
- para todo x irracional entre 0 y 1.
Ver también
Referencias
- Brjuno, Alexander D. (1971), "Forma analítica de ecuaciones diferenciales. I, II", Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva , 25 : 119–262, ISSN 0134-8663 , MR 0377192
- Lee, Eileen F. (primavera de 1999), "La estructura y topología de los números de Brjuno" (PDF) , Actas de la Conferencia de Topología y Dinámica de 1999 (Salt Lake City, UT) , Actas de topología, 24 , págs. 189-201 , MR 1802686
- Marmi, Stefano; Moussa, Pierre; Yoccoz, Jean-Christophe (2001), "Complex Brjuno functions", Journal of the American Mathematical Society , 14 (4): 783–841, doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00371-X , ISSN 0894-0347 , Señor 1839917
- Yoccoz, Jean-Christophe (1995), "Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques", Petits diviseurs en dimension 1 , Astérisque , 231 , págs. 3-88, MR 1367353