En teoría de números , un número de Liouville es un número real x con la propiedad de que, para cada entero positivo n , existen infinitos pares de enteros ( p, q ) con q > 1 tales que
Los números de Liouville son "casi racionales" y, por lo tanto, pueden aproximarse "bastante de cerca" mediante secuencias de números racionales. Son precisamente los números trascendentales que pueden aproximarse más estrechamente mediante números racionales que cualquier número irracional algebraico. En 1844, Joseph Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales, estableciendo así la existencia de números trascendentales por primera vez. [ cita requerida ]
La existencia de números de Liouville (constante de Liouville)
Aquí mostramos que los números de Liouville existen al exhibir una construcción que produce tales números.
Para cualquier número entero b ≥ 2, y cualquier secuencia de números enteros ( a 1 , a 2 ,…,), tal que a k ∈ {0, 1, 2,…, b - 1} para todo k ∈ {1, 2, 3,…} y hay infinitos k con a k ≠ 0, defina el número
En el caso especial cuando b = 10, y a k = 1, para todo k , el número resultante x se llama constante de Liouville:
- L = 0. 11 000 1 00000000000000000 1 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1 ...
De la definición de x se deduce que su representación en base b es
donde el n º plazo es en el ( n !) º lugar decimal.
Dado que esta representación en base b no se repite, se deduce que x no puede ser racional. Por lo tanto, para cualquier número racional p / q , tenemos | x - p / q | > 0.
Ahora, para cualquier número entero n ≥ 1, defina q n y p n de la siguiente manera:
Luego
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que cualquier x es un número de Liouville.
Notas sobre la prueba
- La desigualdad se sigue del hecho de que existe k , a k ∈ {0, 1, 2,…, b − 1}. Por tanto, a lo sumo, a k = b-1. La mayor suma posible ocurriría si la secuencia de números enteros, ( a 1 , a 2 ,…), fuera (b-1, b-1, ...) donde a k = b-1, para todo k.será, por tanto, menor o igual a esta mayor suma posible.
- La fuerte desigualdad se deriva de nuestra motivación para eliminar la serie reduciéndola a una serie para la que conocemos una fórmula. En la demostración hasta ahora, el propósito de introducir la desigualdad en 1. proviene de la intuición de que(la fórmula de la serie geométrica ); por lo tanto, si podemos encontrar una desigualdad deque introduce una serie con (b-1) en el numerador, y si podemos trabajar para reducir aún más el término denominador a , además de cambiar los índices de la serie de 0 a , entonces podremos eliminar tanto la serie como los términos (b-1), acercándonos a una fracción de la forma , que es el objetivo final de la prueba. Promovemos esta motivación aquí seleccionando ahora de la sumauna suma parcial. Observe que, para cualquier término en, ya que b ≥ 2, entonces , para todo k (excepto cuando n = 1). Por lo tanto,(ya que, incluso si n = 1, todos los términos posteriores son más pequeños). Para manipular los índices de modo que k comience en 0, seleccionamos una suma parcial desde dentro(también menor que el valor total, ya que es una suma parcial de una serie cuyos términos son todos positivos). ¡Elegiremos la suma parcial formada comenzando en k = (n + 1)! que se deriva de nuestra motivación para escribir una nueva serie con k = 0, es decir, al notar que.
- Por la desigualdad final , hemos elegido esta desigualdad particular (verdadera porque b ≥ 2, donde la igualdad sigue si y solo si n = 1) porque deseamos manipularen algo de la forma . ¡Esta desigualdad particular nos permite eliminar (n + 1)! y el numerador, usando la propiedad que (n + 1)! - n! = (n!) n, poniendo así el denominador en forma ideal para la sustitución.
Irracionalidad
Aquí vamos a demostrar que el número x = c / d , donde c y d son números enteros y d > 0, no puede satisfacer las desigualdades que definen una serie de Liouville. Dado que todo número racional puede representarse como tal c / d , habremos probado que ningún número de Liouville puede ser racional .
Más específicamente, mostramos que para cualquier entero positivo n lo suficientemente grande como para que 2 n - 1 > d > 0 (es decir, para cualquier entero n > 1 + log 2 ( d )) no existe un par de enteros ( p , q ) que satisface simultáneamente las dos desigualdades
De esto se sigue la conclusión reclamada.
Deje que p y q sean los números enteros con q > 1. Entonces tenemos,
Si | cq - dp | = 0, tendríamos
lo que significa que tal par de números enteros ( p , q ) violaría la primera desigualdad en la definición de un número de Liouville, independientemente de cualquier elección de n .
Si, por el contrario, | cq - dp | > 0, entonces, dado que cq - dp es un número entero, podemos afirmar la desigualdad más aguda | cq - dp | ≥ 1. De esto se sigue que
Ahora, para cualquier número entero n > 1 + log 2 ( d ), la última desigualdad anterior implica
Por tanto, en el caso | cq - dp | > 0 tal par de enteros ( p , q ) violaría la segunda desigualdad en la definición de un número de Liouville, para algún entero positivo n .
Concluimos que no hay un par de números enteros ( p , q ), con q > 1, que califique a un x = c / d como un número de Liouville.
Por tanto, un número de Liouville, si existe, no puede ser racional.
(La sección sobre la constante de Liouville prueba que los números de Liouville existen al exhibir la construcción de uno. La prueba dada en esta sección implica que este número debe ser irracional ).
Incontable
Considere, por ejemplo, el número
- 3.1400010000000000000000050000 ....
3,14 (3 ceros) 1 (17 ceros) 5 (95 ceros) 9 (599 ceros) 2 (4319 ceros) 6 ...
donde los dígitos son cero excepto en las posiciones n ! donde el dígito es igual a la n º dígitos tras la coma decimal en la expansión decimal de π .
Como se muestra en la sección sobre la existencia de números de Liouville , este número, así como cualquier otro decimal no final con sus dígitos distintos de cero situados de manera similar, satisface la definición de un número de Liouville. Dado que el conjunto de todas las secuencias de dígitos no nulos tiene la cardinalidad del continuo , ocurre lo mismo con el conjunto de todos los números de Liouville.
Además, los números de Liouville forman un subconjunto denso del conjunto de números reales.
Números y medida de Liouville
Desde el punto de vista de la teoría de la medida , el conjunto de todos los números L de Liouville es pequeño. Más precisamente, su medida de Lebesgue , λ (L), es cero. La prueba dada sigue algunas ideas de John C. Oxtoby . [2] : 8
Para enteros positivos n > 2 yq ≥ 2, establezca:
tenemos
Observe que para cada entero positivo n ≥ 2 ym ≥ 1, también tenemos
Desde
y n > 2 tenemos
Ahora
y se deduce que para cada entero positivo m , L ∩ (- m , m ) tiene la medida de Lebesgue cero. En consecuencia, L también .
En contraste, la medida de Lebesgue del conjunto de todos los números trascendentales reales es infinita (ya que el conjunto de números algebraicos es un conjunto nulo ).
Estructura del conjunto de números de Liouville
Para cada entero positivo n , establezca
Por tanto, el conjunto de todos los números de Liouville se puede escribir como
Cada U n es un conjunto abierto ; ya que su cierre contiene todos los racionales (elde cada intervalo pinchado), también es un subconjunto denso de línea real. Dado que es la intersección de innumerables conjuntos densos abiertos, L es comeagre , es decir, es un conjunto G δ denso .
Medida de irracionalidad
La medida de irracionalidad de Liouville-Roth ( exponente de irracionalidad, exponente de aproximación o constante de Liouville-Roth ) de un número real x es una medida de qué tan "cerca" se puede aproximar mediante racionales. Generalizando la definición de los números de Liouville, en lugar de permitir cualquier n en la potencia de q , encontramos el mayor valor posible para μ tal quese satisface con un número infinito de pares enteros ( p , q ) con q > 0. Este valor máximo de μ se define como la medida de irracionalidad de x . [3] : 246 Para cualquier valor μ menor que este límite superior, el conjunto infinito de todos los racionales p / q que satisfacen la desigualdad anterior produce una aproximación de x . Por el contrario, si μ es mayor que el límite superior, entonces hay como mucho un número finito ( p , q ) con q > 0 que satisfacen la desigualdad; por tanto, la desigualdad opuesta es válida para todos los valores mayores de q . En otras palabras, dada la medida de irracionalidad μ de un número real x , siempre que una aproximación racional x ≅ p / q , p , q ∈ N produce n + 1 dígitos decimales exactos, tenemos
para cualquier ε> 0, excepto como máximo un número finito de pares "afortunados" ( p , q ).
Casi todos los números tienen una medida de irracionalidad igual a 2. [3] : 246
A continuación se muestra una tabla de límites superior e inferior conocidos para las medidas de irracionalidad de ciertos números.
Número | Medida de irracionalidad | Fracción continua simple | Notas | |
---|---|---|---|---|
Límite inferior | Límite superior | |||
Número racional dónde y | 1 | Fracción continua finita . | Cada número racional tiene una medida de irracionalidad de exactamente 1. Los ejemplos incluyen 1, 2 y 0.5 | |
Surd algebraico | 2 | Fracción continua infinita. Periódico si cuadrático irracional . | Según el teorema de Thue-Siegel-Roth, la medida de irracionalidad de cualquier número algebraico es exactamente 2. Los ejemplos incluyen raíces cuadradas como y y la proporción áurea . | |
2 | Fracción continua infinita. | Si los elementos de la expansión fraccionaria continua de un número irracional satisfacer por positivo y , la medida de la irracionalidad . Ejemplos incluyen o donde las fracciones continuas se comportan de manera predecible: y | ||
2 | ||||
2 | ||||
[4] [5] | 2 | 2.49846 ... | Fracción continua infinita. | , es un -serie armónica. |
[4] [6] | 2 | 2.93832 ... | , es un -logaritmo. | |
[4] [6] | 2 | 3,76338 ... | , | |
[4] [7] | 2 | 3,57455 ... | ||
[4] [8] | 2 | 5.11620 ... | ||
[4] | 2 | 5.51389 ... | ||
y [4] [9] | 2 | 5.09541 ... | y
| y son linealmente dependientes de . |
[4] [10] | 2 | 7.10320 ... | Se ha comprobado que si la serie (donde n está en radianes) converge, entoncesLa medida de irracionalidad es como máximo 2,5. [11] [12] | |
[13] | 2 | 6.09675 ... | De la forma | |
[14] | 2 | 4.788 ... | ||
[14] | 2 | 6.24 ... | ||
[14] | 2 | 4.076 ... | ||
[14] | 2 | 4.595 ... | ||
[14] | 2 | 5.793 ... | De la forma | |
[14] | 2 | 3.673 ... | ||
[14] | 2 | 3,068 ... | ||
[15] [16] | 2 | 4.60105 ... | De la forma | |
[dieciséis] | 2 | 3.94704 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3.76069 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3.66666 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3.60809 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3,56730 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 6.64610 ... | De la forma | |
[dieciséis] | 2 | 5.82337 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3,51433 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 5.45248 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3.47834 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 5.23162 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3.45356 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 5.08120 ... | ||
[dieciséis] | 2 | 3.43506 ... | ||
[14] | 4.5586 ... | y | ||
[14] | 6.1382 ... | y | ||
[14] | 59,976 ... | |||
[17] | 2 | 4 | Fracción continua infinita. | dónde es el -ésimo término de la secuencia de Thue-Morse . |
Constantes de Champernowne en base [18] | Fracción continua infinita. | Ejemplos incluyen | ||
Números de Liouville | Fracción continua infinita que no se comporta de forma predecible. | Los números de Liouville son precisamente aquellos números que tienen una medida de irracionalidad infinita. [3] : 248 |
Base de irracionalidad
La base de la irracionalidad es una medida más débil de la irracionalidad introducida por J. Sondow, [19] y se considera una medida de la irracionalidad para los números de Liouville. Se define de la siguiente manera:
Dejar ser un número irracional. Si existe un numero real con la propiedad que para cualquier , hay un entero positivo tal que
- ,
luego se llama la base de la irracionalidad de y se representa como
Si no hay tal existe, entonces se llama un número super Liouville .
Ejemplo : la seriees un número super Liouville , mientras que la serie es un número de Liouville con base de irracionalidad 2. (representa tetración .)
Números de Liouville y trascendencia
Establecer que un número dado es un número de Liouville proporciona una herramienta útil para demostrar que un número dado es trascendental. Sin embargo, no todos los números trascendentales son números de Liouville. Los términos de la expansión fraccionaria continua de cada número de Liouville son ilimitados; usando un argumento de conteo, uno puede entonces demostrar que debe haber incontables números trascendentales que no son Liouville. Usando la expansión explícita de fracción continua de e , se puede demostrar que e es un ejemplo de un número trascendental que no es Liouville. Mahler demostró en 1953 que π es otro ejemplo. [20]
La demostración procede estableciendo primero una propiedad de los números algebraicos irracionales . Esta propiedad esencialmente dice que los números algebraicos irracionales no pueden aproximarse bien mediante números racionales, donde la condición de "bien aproximado" se vuelve más estricta para denominadores más grandes. Un número de Liouville es irracional pero no tiene esta propiedad, por lo que no puede ser algebraico y debe ser trascendental. El siguiente lema se conoce generalmente como teorema de Liouville (en aproximación diofántica) , existiendo varios resultados conocidos como teorema de Liouville .
A continuación, mostraremos que ningún número de Liouville puede ser algebraico.
Lema: Si α es un número irracional que es la raíz de un polinomio f de grado n > 0 con coeficientes enteros, entonces existe un número real A > 0 tal que, para todos los enteros p , q , con q > 0,
Prueba de lema: Sea M el valor máximo de | f ′ ( x ) | (el valor absoluto de la derivada de f ) en el intervalo [ α - 1, α + 1]. Sean α 1 , α 2 , ..., α m las distintas raíces de f que difieren de α . Seleccione algún valor A > 0 satisfactorio
Ahora suponga que existen algunos números enteros p , q que contradicen el lema. Luego
Entonces p / q está en el intervalo [ α - 1, α + 1]; y p / q no está en { α 1 , α 2 , ..., α m }, entonces p / q no es una raíz de f ; y no hay raíz de f entre α y p / q .
Por el teorema de valor medio , existe un x 0 entre p / q y α tal que
Dado que α es una raíz de f pero p / q no lo es, vemos que | f ′ ( x 0 ) | > 0 y podemos reorganizar:
Ahora, f tiene la forma c i x i donde cada c i es un número entero; para que podamos expresar | f ( p / q ) | como
la última desigualdad se cumple porque p / q no es una raíz de f y c i son números enteros.
Así tenemos eso | f ( p / q ) | ≥ 1 / q n . Desde | f ′ ( x 0 ) | ≤ M según la definición de M , y 1 / M > A según la definición de A , tenemos que
que es una contradicción; por lo tanto, no existen tales p , q ; probando el lema.
Prueba de afirmación: como consecuencia de este lema, sea x un número de Liouville; como se indica en el texto del artículo, x es entonces irracional. Si x es algebraico, entonces, según el lema, existe un entero n y un A real positivo tal que para todo p , q
Deje que r sea un número entero positivo tal que 1 / (2 r ) ≤ A . Si dejamos m = r + n , y dado que x es un número de Liouville, entonces existen enteros a , b donde b > 1 tales que
que contradice el lema. Por tanto, si existe un número de Liouville, no puede ser algebraico y, por tanto, debe ser trascendental.
Ver también
- Número de Brjuno
- Aproximación diofántica
Referencias
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( ayuda ) - ^ La medida de irracionalidad de π no supera los 7,6304, segúnWeisstein, Eric W. "Medida de la irracionalidad" . MathWorld .
enlaces externos
- El comienzo de los números trascendentales