En matemáticas, el orden Bruhat (también llamado orden fuerte o fuerte orden Bruhat o fin Chevalley o fin Bruhat-Chevalley o fin Chevalley-Bruhat ) es un orden parcial en los elementos de un grupo de Coxeter , que corresponde al orden inclusión en variedades Schubert .
Historia
Ehresmann (1934) estudió por primera vez el orden de Bruhat en las variedades de Schubert de una variedad de bandera o un Grassmanniano , y Chevalley (1958) estudió el análogo para grupos algebraicos semisimples más generales . Verma (1968) inició el estudio combinatorio del orden Bruhat en el grupo Weyl , e introdujo el nombre "orden Bruhat" debido a la relación con la descomposición Bruhat introducida por François Bruhat .
Björner ( 1984 ) estudió los ordenamientos débiles de Bruhat izquierdo y derecho .
Definición
Si ( W , S ) es un sistema de Coxeter con generadores de S , entonces el orden Bruhat es un orden parcial en el grupo W . Recuerde que una palabra reducida para un elemento w de W es una expresión de longitud mínima de w como un producto de elementos de S , y la longitud ℓ ( w ) de w es la longitud de una palabra reducida.
- El orden de Bruhat (fuerte) se define por u ≤ v si alguna subcadena de alguna (o cada) palabra reducida para v es una palabra reducida para u . (Tenga en cuenta que aquí una subcadena no es necesariamente una subcadena consecutiva).
- El orden débil de la izquierda (Bruhat) se define por u ≤ L v si alguna subcadena final de alguna palabra reducida para v es una palabra reducida para u .
- El orden débil a la derecha (Bruhat) se define por u ≤ R v si alguna subcadena inicial de alguna palabra reducida para v es una palabra reducida para u .
Para obtener más información sobre los órdenes débiles, consulte el artículo orden débil de permutaciones .
Gráfico de Bruhat
El gráfico de Bruhat es un gráfico dirigido relacionado con el orden de Bruhat (fuerte). El conjunto de vértices es el conjunto de elementos del grupo de Coxeter y el conjunto de borde se compone de bordes dirigidos ( u , v ) siempre que u = tv por alguna reflexión t y ℓ ( u ) < ℓ ( v ). Se puede ver el gráfico como un gráfico dirigido con etiquetas de borde con etiquetas de borde que provienen del conjunto de reflexiones. (También se podría definir el gráfico de Bruhat usando la multiplicación de la derecha; como gráficos, los objetos resultantes son isomorfos, pero las etiquetas de los bordes son diferentes).
El orden de Bruhat fuerte en el grupo simétrico (permutaciones) tiene la función de Möbius dada por , y por lo tanto este poset es euleriano, lo que significa que su función de Möbius es producida por la función de rango en el poset.
Referencias
- Björner, Anders (1984), "Ordenaciones de grupos Coxeter" , en Greene, Curtis (ed.), Combinatoria y álgebra (Boulder, Colorado, 1983) , Contemp. Math., 34 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 175–195, ISBN 978-0-8218-5029-9, MR 0777701
- Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatoria de grupos Coxeter , Textos de posgrado en matemáticas, 231 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-27596-7 , ISBN 978-3-540-44238-7, MR 2133266
- Chevalley, C. (1958), "Sur les décompositions cellulaires des espaces G / B", en Haboush, William J .; Parshall, Brian J. (eds.), Grupos algebraicos y sus generalizaciones: métodos clásicos (University Park, PA, 1991) , Proc. Simpos. Pure Math., 56 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 1–23, ISBN 978-0-8218-1540-3, MR 1278698
- Ehresmann, Charles (1934), "Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes", Annals of Mathematics , Segunda serie (en francés), Annals of Mathematics, 35 (2): 396–443, doi : 10.2307 / 1968440 , ISSN 0003- 486X , JFM 60.1223.05 , JSTOR 1968440
- Verma, Daya-Nand (1968), "Estructura de ciertas representaciones inducidas de álgebras de Lie complejas semisimple", Boletín de la American Mathematical Society , 74 : 160–166, doi : 10.1090 / S0002-9904-1968-11921-4 , ISSN 0002-9904 , MR 0218417