Variedad Schubert
En geometría algebraica , una variedad de Schubert es una cierta subvariedad de un Grassmanniano , generalmente con puntos singulares . Como un Grassmanniano, es una especie de espacio de módulos , cuyos puntos corresponden a ciertos tipos de subespacios V , especificados mediante álgebra lineal , dentro de un subespacio vectorial fijo W. Aquí W puede ser un espacio vectorial sobre un campo arbitrario , aunque más comúnmente sobre números complejos .
Un ejemplo típico es el conjunto X cuyos puntos corresponden a esos subespacios bidimensionales V de un espacio vectorial de 4 dimensiones W , de manera que V interseca de manera no trivial un subespacio bidimensional fijo (referencia) W 2 :
Sobre el campo de número real , esto se puede representar en el espacio xyz habitual de la siguiente manera. Reemplazando los subespacios con sus correspondientes espacios proyectivos, y cruzando con un parche de coordenadas afines de , obtenemos un subconjunto abierto X ° ⊂ X. Esto es isomorfo al conjunto de todas las líneas L (no necesariamente a través del origen) que se encuentran con el eje x . Cada una de estas líneas L corresponde a un punto de X °, y L en movimiento continuo en el espacio (mientras se mantiene en contacto con el eje x ) corresponde a una curva en X °. Dado que hay tres grados de libertad para moverseL (moviendo el punto en el eje x , girando e inclinando), X es una variedad algebraica real tridimensional . Sin embargo, cuando L es igual al eje x , se puede rotar o inclinar alrededor de cualquier punto del eje, y este exceso de posibles movimientos hace que L sea un punto singular de X.
De manera más general, una variedad de Schubert se define especificando la dimensión mínima de intersección entre una V k- dimensional con cada uno de los espacios en una bandera de referencia fija , donde . (En el ejemplo anterior, esto significaría que requiere ciertas intersecciones de la línea L con la x eje x y la xy un plano.)
En una generalidad aún mayor, dado un grupo algebraico semisimple G con un subgrupo B de Borel y un subgrupo parabólico estándar P , se sabe que el espacio homogéneo X = G / P , que es un ejemplo de una variedad de bandera , consta de un número finito de B -orbitas que pueden estar parametrizadas por ciertos elementos del grupo W de Weyl . El cierre de la órbita B asociada a un elemento w del grupo Weyl se denota por X w y se denomina variedad de Schubert en G / P. _ El caso clásico corresponde a G = SL n y P es el k -ésimo subgrupo parabólico máximo de G.
Las variedades de Schubert forman una de las clases más importantes y mejor estudiadas de variedades algebraicas singulares . Los polinomios de Kazhdan-Lusztig , que codifican su cohomología de intersección local de Goresky-MacPherson, proporcionan una cierta medida de singularidad de las variedades de Schubert .