En teoría de números , el teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (pares de números primos que difieren en 2) converge a un valor finito conocido como constante de Brun , generalmente denotado por B 2 (secuencia A065421 en el OEIS ). El teorema de Brun fue probado por Viggo Brun en 1919 y tiene una importancia histórica en la introducción de los métodos de tamizado .
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Límites asintóticos en primos gemelos
La convergencia de la suma de recíprocos de primos gemelos se deriva de los límites de la densidad de la secuencia de primos gemelos. Dejardenotar el número de primos p ≤ x para los cuales p + 2 también es primo (es decires el número de primos gemelos con el menor como máximo x ). Entonces, para x ≥ 3, tenemos
Es decir, los números primos gemelos son menos frecuentes que los números primos en casi un factor logarítmico. De este límite se deduce que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, o dicho en otras palabras, los primos gemelos forman un pequeño conjunto . En términos explícitos, la suma
tiene un número finito de términos o un número infinito de términos, pero es convergente: su valor se conoce como constante de Brun.
Si fuera el caso de que la suma divergiera, entonces ese hecho implicaría que hay infinitos números primos gemelos. Debido a que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, no es posible concluir de este resultado que hay un número finito o un número infinito de primos gemelos. La constante de Brun podría ser un número irracional solo si hay infinitos números primos gemelos.
Estimaciones numéricas
La serie converge extremadamente lentamente. Thomas Nicely comenta que después de sumar los primeros mil millones (10 9 ) términos, el error relativo sigue siendo superior al 5%. [1]
Calculando los primos gemelos hasta 10 14 (y descubriendo el error Pentium FDIV en el camino), Nicely estimó heurísticamente la constante de Brun en 1.902160578. [1] Nicely ha ampliado su cálculo a 1,6 × 10 15 a partir del 18 de enero de 2010, pero este no es el cálculo más grande de este tipo.
En 2002, Pascal Sebah y Patrick Demichel utilizaron todos los primos gemelos hasta 10 16 para dar la estimación [2] de que B 2 ≈ 1,902160583104. Por eso,
Año | B 2 | # de primos gemelos usados | por |
---|---|---|---|
1976 | 1.902160540 | 1 × 10 11 | Brent |
1996 | 1.902160578 | 1 × 10 14 | Bien |
2002 | 1.902160583104 | 1 × 10 16 | Sebah y Demichel |
El último se basa en la extrapolación de la suma 1.830484424658 ... para los primos gemelos por debajo de 10 16 . Dominic Klyve demostró condicionalmente (en una tesis no publicada) que B 2 <2.1754 (asumiendo la hipótesis de Riemann extendida ). Se ha demostrado incondicionalmente que B 2 <2,347. [3]
También hay una constante de Brun para los cuatrillizos principales . Un cuatrillizo primo es un par de dos pares primos gemelos, separados por una distancia de 4 (la distancia más pequeña posible). Los primeros cuatrillizos primos son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun para cuatrillizos primos, denotada por B 4 , es la suma de los recíprocos de todos los cuatrillizos primos:
con valor:
- B 4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005, el rango de error tiene un nivel de confianza del 99% según Nicely. [1]
Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos primos , como pares primos de la forma ( p , p + 4), que también se escribe como B 4 . Wolf derivó una estimación para las sumas de tipo Brun B n de 4 / n .
Resultados adicionales
Dejar (secuencia A005597 en la OEIS ) sea la constante prima gemela . Entonces se conjetura que
En particular,
para cada y todo lo suficientemente grande x .
Se han probado muchos casos especiales de lo anterior. Más recientemente, Jie Wu demostró que para x suficientemente grande ,
donde 4.5 corresponde a en lo anterior.
En la cultura popular
Los dígitos de la constante de Brun se utilizaron en una oferta de $ 1,902,160,540 en la subasta de patentes de Nortel . La oferta fue publicada por Google y fue una de las tres ofertas de Google basadas en constantes matemáticas. [4]
Ver también
Notas
- ↑ a b c Muy bien, Thomas R. (18 de enero de 2010). "Enumeración a 1.6 * 10 ^ 15 de los primos gemelos y constante de Brun" . Algunos resultados de la investigación computacional en números primos (teoría de números computacionales) . Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2013 . Consultado el 16 de febrero de 2010 .
- ^ Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introducción a los primos gemelos y el cálculo constante de Brun". CiteSeerX 10.1.1.464.1118 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Klyve, Dominic. "Límites explícitos en primos gemelos y constante de Brun" . Consultado el 24 de mayo de 2021 .
- ^ Damouni, Nadia (1 de julio de 2011). "Dealtalk: Google oferta" pi "por las patentes de Nortel y perdió" . Reuters . Consultado el 6 de julio de 2011 .
Referencias
- Brun, Viggo (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Archivo para Mathematik og Naturvidenskab . B34 (8).
- Brun, Viggo (1919). "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie " . Bulletin des Sciences Mathématiques (en francés). 43 : 100-104, 124-128.
- Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 66 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 73–74. ISBN 0-521-61275-6.
- Landau, E. (1927). Elementare Zahlentheorie . Leipzig, Alemania: Hirzel.Providence reimpreso, RI: Amer. Matemáticas. Soc., 1990.
- LeVeque, William Judson (1996). Fundamentos de la teoría de números . Ciudad de Nueva York: Dover Publishing. págs. 1–288. ISBN 0-486-68906-9. Contiene una prueba más moderna.
- Wu, J. (2004) [24 de septiembre de 2007]. "Doble colador de Chen, la conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos". Acta Arithmetica . 114 (3): 215-273. arXiv : 0705.1652 . Código Bibliográfico : 2004AcAri.114..215W . doi : 10.4064 / aa114-3-2 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "La constante de Brun" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Brun" . MathWorld .
- La constante de Brun en PlanetMath .
- Sebah, Pascal y Xavier Gourdon, Introducción a los primos gemelos y el cálculo constante de Brun , 2002. Un examen detallado moderno.
- Artículo de Wolf sobre sumas tipo Brun