Divergencia de la suma de los recíprocos de los primos

Teorema

La suma del recíproco de los primos aumenta sin límite. El eje x está en escala logarítmica, lo que muestra que la divergencia es muy lenta. La función roja es un límite inferior que también diverge.

La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge ; es decir:

${\displaystyle \sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty }$

Esto fue probado por Leonhard Euler en 1737, ^[1] y refuerza (es decir, da más información que) el resultado de Euclides del siglo III aC de que hay infinitos números primos .

Hay una variedad de pruebas del resultado de Euler, incluido un límite inferior para las sumas parciales que indican que

${\displaystyle \sum _{\scriptstyle p{\text{ prime}} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \log \log(n+1)-\log {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

para todos los números naturales n . El doble logaritmo natural (log log) indica que la divergencia puede ser muy lenta, lo que es cierto. Ver constante de Meissel-Mertens .

La serie armónica

Primero, describimos cómo Euler descubrió originalmente el resultado. Estaba considerando la serie armónica

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\infty }$

Ya había utilizado la siguiente " fórmula de producto " para mostrar la existencia de infinitos números primos.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}$

Aquí el producto se toma sobre el conjunto de todos los primos.

Estos productos infinitos se denominan hoy productos Euler . El producto anterior es un reflejo del teorema fundamental de la aritmética . Euler señaló que si solo hubiera un número finito de primos, entonces el producto de la derecha convergería claramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica.

Pruebas

Prueba de Euler

Euler consideró la fórmula del producto anterior y procedió a realizar una secuencia de audaces saltos de lógica. Primero, tomó el logaritmo natural de cada lado, luego usó la expansión de la serie de Taylor para log x , así como la suma de una serie convergente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\[5pt]&=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\[5pt]&=A+K\end{aligned}}}$

para una constante fija K <1 . Luego invocó la relación

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\log \infty ,}$

que explicó, por ejemplo, en un trabajo posterior de 1748, ^[2] estableciendo x = 1 en la expansión de la serie de Taylor

${\displaystyle \log \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.}$

Esto le permitió concluir que

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \log \infty .}$

Es casi seguro que Euler quiso decir que la suma de los recíprocos de los primos menores que n es asintótica para log log n cuando n se acerca al infinito. Resulta que este es realmente el caso, y Franz Mertens demostró rigurosamente una versión más precisa de este hecho en 1874. ^[3] Así, Euler obtuvo un resultado correcto por medios cuestionables.

Prueba de Erdős por estimaciones superior e inferior

La siguiente prueba por contradicción se debe a Paul Erdős .

Sea p _i el i- ésimo número primo. Suponga que la suma de los recíprocos de los primos converge

Entonces existe un entero positivo más pequeño k tal que

${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)}$

Para un entero positivo x , sea M _x el conjunto de aquellos n en {1, 2,…, x } que no son divisibles por ningún primo mayor que p _k (o equivalentemente todos n ≤ x que son un producto de potencias de primos p _i ≤ p _k ). Ahora derivaremos una estimación superior e inferior para | M _x | , el número de elementos en M _x . Para grandes  x, estos límites resultarán contradictorios.

Estimación superior:

Cada n en M _x puede escribirse como n = m ² r con números enteros positivos m y r , donde r es libre de cuadrados . Dado que solo los k primos p ₁ ,…, p _k pueden aparecer (con exponente 1) en la factorización prima de  r , hay como máximo 2 ^k posibilidades diferentes para  r . Además, hay como máximo √ x valores posibles para  m. Esto nos da la estimación superior

${\displaystyle |M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)}$

Estimación más baja:

El x restante  - | M _x | los números en la diferencia de conjuntos {1, 2,…, x } \ M _x son todos divisibles por un número primo mayor que p _k . Sea N _{i , x} el conjunto de aquellos n en {1, 2,…, x } que son divisibles por el i- ésimo primo p _i . Luego

${\displaystyle \{1,2,\ldots ,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x}}$

Dado que el número de enteros en N _{i , x} es como máximoX/p _yo(en realidad cero para p _i > x ), obtenemos

${\displaystyle x-|M_{x}|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}}$

Usando (1), esto implica

${\displaystyle {\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)}$

Esto produce una contradicción: cuando x ≥ 2 ^{2 k + 2} , las estimaciones (2) y (3) no se pueden cumplir, porqueX/2≥ 2 ^k √ x .

Prueba de que la serie muestra un crecimiento logarítmico

Aquí hay otra prueba que en realidad da una estimación más baja para las sumas parciales; en particular, muestra que estas sumas crecen al menos tan rápido como log log n . La prueba se debe a Ivan Niven, ^[4] adaptado de la idea de expansión de producto de Euler . En lo que sigue, una suma o producto tomado sobre p siempre representa una suma o producto tomado sobre un conjunto específico de primos.

La prueba se basa en las siguientes cuatro desigualdades:

• Todo entero positivo i puede expresarse de forma única como el producto de un número entero libre de cuadrados y un cuadrado como consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Empezar con:

${\displaystyle i=q_{1}^{2{\alpha }_{1}+{\beta }_{1}}\cdot q_{2}^{2{\alpha }_{2}+{\beta }_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{r}^{2{\alpha }_{r}+{\beta }_{r}},}$

donde los β son 0 (la potencia correspondiente del primo q es par) o 1 (la potencia correspondiente del primo q es impar). Factoriza una copia de todos los números primos cuyo β es 1, dejando un producto de los números primos a las potencias pares, en sí mismo un cuadrado. Reetiquetado:

${\displaystyle i=(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})\cdot b^{2},}$

donde el primer factor, un producto de los números primos a la primera potencia, es cuadrado libre. Invertir todas las i s da la desigualdad

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leq \left(\prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)=A\cdot B.}$

Para ver esto, tenga en cuenta que

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{p_{1}p_{2}\ldots p_{s}}}\cdot {\frac {1}{b^{2}}},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{p}}_{1}\right)\left(1+{\frac {1}{p}}_{2}\right)\ldots \left(1+{\frac {1}{p}}_{s}\right)&=\left({\frac {1}{p}}_{1}\right)\left({\frac {1}{p}}_{2}\right)\ldots \left({\frac {1}{p}}_{s}\right)+\ldots \\&={\frac {1}{p_{1}p_{2}\ldots p_{s}}}+\ldots .\end{aligned}}}$

Es decir, es uno de los sumandos en el producto ampliado A . Y como es uno de los sumandos de B , cada i se representa en uno de los términos de AB cuando se multiplica. Sigue la desigualdad.${\displaystyle 1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})}$${\displaystyle 1/b^{2}}$

• La estimación superior del logaritmo natural

${\displaystyle {\begin{aligned}\log(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i}}}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}}$

• La estimación más baja 1 + x <exp ( x ) para la función exponencial , que se cumple para todo x > 0 .
• Sea n ≥ 2 . El límite superior (usando una suma telescópica ) para las sumas parciales (la convergencia es todo lo que realmente necesitamos)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n}\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2}}}}\right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4}}}}\,>\,{\frac {1}{k^{2}}}}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3}}\end{aligned}}}$

Combinando todas estas desigualdades, vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\log(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}\exp \left({\frac {1}{p}}\right)\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}}$

Dividiendo por 5/3 y tomando el logaritmo natural de ambos lados da

${\displaystyle \log \log(n+1)-\log {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}}$

como se desee. ∎

Utilizando

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

(ver el problema de Basilea ), el registro constante anterior5/3= 0.51082… se puede mejorar para registrarπ ²/6= 0,4977… ; de hecho resulta que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=M}$

donde M = 0.261497… es la constante de Meissel-Mertens (algo análoga a la constante de Euler-Mascheroni mucho más famosa ).

Prueba de la desigualdad de Dusart

De la desigualdad de Dusart , obtenemos

${\displaystyle p_{n}<n\log n+n\log \log n\quad {\mbox{for }}n\geq 6}$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\log n+n\log \log n}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\log n}}=\infty \end{aligned}}}$

por la prueba integral de convergencia . Esto muestra que la serie de la izquierda diverge.

Prueba de series geométricas y armónicas

Supongamos que la suma converge por contradicción. Entonces, existe tal que . Llame a esta suma .${\displaystyle n}$${\displaystyle \sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1}$${\displaystyle x}$

Ahora considere la serie geométrica convergente .${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$

Esta serie geométrica contiene la suma de los recíprocos de todos los números cuya factorización prima contiene solo primos en el conjunto .${\displaystyle \{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}}$

Considere la subserie . Esta es una subserie porque no es divisible por ninguno .${\displaystyle \sum _{i\geq 1}{\frac {1}{1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}}}$${\displaystyle 1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}$${\displaystyle p_{j},j\leq n}$

Sin embargo, según la prueba de comparación de límites , esta subserie diverge comparándola con la serie armónica. De hecho, .${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$

Por lo tanto, hemos encontrado una subserie divergente de la serie convergente original, y dado que todos los términos son positivos, esto da la contradicción. Podemos concluir divergencias.${\displaystyle \sum _{i\geq 1}{\frac {1}{p_{i}}}}$${\displaystyle \blacksquare }$

Sumas parciales

Si bien las sumas parciales de los recíprocos de los números primos eventualmente exceden cualquier valor entero, nunca equivalen a un número entero.

Una prueba ^[5] es por inducción: la primera suma parcial es1/2, que tiene la forma impar/incluso. Si el n º suma parcial (para n ≥ 1 ) tiene la formaimpar/incluso, entonces la ( n + 1) a suma es

${\displaystyle {\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text{even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}}$

como el ( n + 1) st primo p _{n + 1} es impar; ya que esta suma también tiene unimpar/incluso forma, esta suma parcial no puede ser un número entero (porque 2 divide el denominador pero no el numerador), y la inducción continúa.

Otra prueba reescribe la expresión para la suma de los primeros n recíprocos de primos (o de hecho la suma de los recíprocos de cualquier conjunto de primos) en términos del mínimo común denominador , que es el producto de todos estos primos. Luego, cada uno de estos números primos divide todos los términos del numerador menos uno y, por lo tanto, no divide el numerador en sí; pero cada primo hace dividir el denominador. Por tanto, la expresión es irreductible y no es un número entero.

Ver también

• Teorema de Euclides de que hay infinitos números primos
• Conjunto pequeño (combinatoria)
• Teorema de Brun , sobre la suma convergente de recíprocos de los primos gemelos
• Lista de sumas de recíprocos

Referencias

1. Euler, Leonhard (1737). "Observaciones de Variae circa series infinitas" [Varias observaciones sobre series infinitas]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 9 : 160-188.
2. Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum . Tomus Primus [ Introducción al análisis infinito. Volumen I ]. Lausana: Bousquet. pag. 228, ej. 1.
3. Mertens, F. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie" . J. Reine Angew. Matemáticas. 78 : 46–62.
4. Niven, Ivan, "Una prueba de la divergencia de Σ 1 / p ", The American Mathematical Monthly , vol. 78, núm. 3 (marzo de 1971), págs. 272-273. William Dunham amplía la prueba de media página en Euler: The Master of Us All , págs. 74-76.
5. Señor, Nick (2015). "Pruebas rápidas de que determinadas sumas de fracciones no son números enteros". La Gaceta Matemática . 99 : 128-130. doi : 10.1017 / mag.2014.16 .

Fuentes

• Dunham, William (1999). Euler, el amo de todos nosotros . MAA . págs.  61–79 . ISBN 0-88385-328-0.

Enlaces externos

• Caldwell, Chris K. "Hay infinitos números primos, pero, ¿qué tan grande es el infinito?" .