El argumento del cubo giratorio de Isaac Newton (también conocido como cubo de Newton ) fue diseñado para demostrar que el verdadero movimiento de rotación no se puede definir como la rotación relativa del cuerpo con respecto a los cuerpos que lo rodean inmediatamente. Es uno de los cinco argumentos de las "propiedades, causas y efectos" del "movimiento y reposo verdaderos" que apoyan su afirmación de que, en general, el movimiento y el reposo verdaderos no pueden definirse como instancias especiales de movimiento o reposo en relación con otros cuerpos. , pero en cambio se puede definir solo por referencia al espacio absoluto . Alternativamente, estos experimentos proporcionan una definición operativa de lo que se entiende por "rotación absoluta ", y no pretenden abordar la cuestión de" ¿rotación relativa a qué ? " [1] La relatividad general prescinde del espacio absoluto y de la física cuya causa es externa al sistema, del concepto de geodésica del espacio-tiempo . [2 ]
Fondo
Estos argumentos, y una discusión de las distinciones entre tiempo absoluto y relativo, espacio, lugar y movimiento, aparecen en un escolio al final de las secciones de Definiciones en el Libro I de la obra de Newton, The Mathematical Principles of Natural Philosophy (1687) (no para confundirse con el general Scholium al final del libro III), que estableció los fundamentos de la mecánica clásica e introdujo su ley de gravitación universal , que produjo la primera explicación dinámica cuantitativamente adecuada del movimiento planetario . [3]
A pesar de su aceptación del principio de inercia rectilínea y el reconocimiento de la relatividad cinemática del movimiento aparente (que subyace a si el sistema ptolemaico o copernicano es correcto), los filósofos naturales del siglo XVII continuaron considerando el verdadero movimiento y reposo como descriptores físicamente separados. de un cuerpo individual. La opinión dominante a la que se opuso Newton fue ideada por René Descartes y fue apoyada (en parte) por Gottfried Leibniz . Sostenía que el espacio vacío es una imposibilidad metafísica porque el espacio no es más que la extensión de la materia, o, en otras palabras, que cuando se habla del espacio entre las cosas, en realidad se está haciendo referencia a la relación que existe entre esas cosas y no a alguna entidad que se interpone entre ellos. [4] [5] De acuerdo con el entendimiento anterior, cualquier afirmación sobre el movimiento de un cuerpo se reduce a una descripción a lo largo del tiempo en la que el cuerpo en cuestión se encuentra en t 1 en las proximidades de un grupo de cuerpos "emblemáticos" y en algún t 2 se encuentra en las proximidades de algún otro cuerpo o cuerpos "emblemáticos". [6] [7]
Descartes reconoció que habría una diferencia real, sin embargo, entre una situación en la que un cuerpo con partes móviles y originalmente en reposo con respecto a un anillo circundante se aceleraba a una cierta velocidad angular con respecto al anillo, y otra situación en que al anillo circundante se le dio una aceleración contraria con respecto al objeto central. Con respecto únicamente al objeto central y al anillo circundante, los movimientos serían indistinguibles entre sí asumiendo que tanto el objeto central como el anillo circundante fueran objetos absolutamente rígidos. Sin embargo, si ni el objeto central ni el anillo circundante fueran absolutamente rígidos, las partes de uno o ambos tenderían a salir volando del eje de rotación.
Por razones contingentes que tienen que ver con la Inquisición , Descartes habló del movimiento como absoluto y relativo. [8] [ verificación fallida ]
A finales del siglo XIX, Ernst Mach (1883) reintrodujo la afirmación de que todo movimiento es relativo . [9] [10]
Por consiguiente, cuando decimos que un cuerpo conserva inalterada su dirección y velocidad en el espacio , nuestra afirmación no es ni más ni menos que una referencia abreviada al universo entero .
El argumento
Newton habla de un cubo ( latín : situla ) lleno de agua colgado de un cordón. [11] Si el cordón se retuerce firmemente sobre sí mismo y luego se suelta el cubo, comienza a girar rápidamente, no solo con respecto al experimentador, sino también en relación con el agua que contiene. (Esta situación correspondería al diagrama B anterior).
Aunque el movimiento relativo en esta etapa es el mayor, la superficie del agua permanece plana, lo que indica que las partes del agua no tienen tendencia a retroceder del eje de movimiento relativo, a pesar de la proximidad al balde. Finalmente, a medida que la cuerda continúa desenrollando, la superficie del agua adquiere una forma cóncava a medida que adquiere el movimiento del cubo girando en relación con el experimentador. Esta forma cóncava muestra que el agua está girando, a pesar de que el agua está en reposo con respecto al cubo. En otras palabras, no es el movimiento relativo del cubo y el agua lo que causa la concavidad del agua, contrariamente a la idea de que los movimientos solo pueden ser relativos y que no hay movimiento absoluto. (Esta situación correspondería al diagrama D.) Posiblemente la concavidad del agua muestre rotación relativa a otra cosa : digamos espacio absoluto? Newton dice: "Uno puede averiguar y medir el movimiento circular verdadero y absoluto del agua". [12]
En la traducción de Andrew Motte de 1846 de las palabras de Newton: [13]
Si un recipiente, colgado de una cuerda larga, se gira con tanta frecuencia que la cuerda se retuerce fuertemente, luego se llena de agua y se mantiene en reposo junto con el agua; después, por la acción repentina de otra fuerza, gira en sentido contrario, y mientras la cuerda se desenrosca, la vasija continúa por algún tiempo este movimiento; la superficie del agua al principio será llana, como antes de que el barco comenzara a moverse; pero la vasija al comunicar gradualmente su movimiento al agua, hará que comience a girar sensiblemente, y retroceda poco a poco, y ascienda a los lados de la vasija, formándose en una figura cóncava ... Este ascenso del agua muestra su esfuerzo por alejarse del eje de su movimiento; y el movimiento circular verdadero y absoluto del agua, que aquí es directamente contrario al relativo, se descubre y puede medirse con este esfuerzo. ... Y por lo tanto, este esfuerzo no depende de ninguna traslación del agua con respecto a los cuerpos ambientales, ni puede definirse el verdadero movimiento circular mediante dicha traslación. ...; pero los movimientos relativos ... carecen por completo de cualquier efecto real. ... De hecho, es una cuestión de gran dificultad descubrir, y distinguir eficazmente, los verdaderos movimientos de los cuerpos particulares de los aparentes; porque las partes de ese espacio inamovible en el que se realizan estos movimientos, de ninguna manera quedan bajo la observación de nuestros sentidos.
- Isaac Newton; Principia , Libro 1: Escolio
El argumento de que el movimiento es absoluto, no relativo, es incompleto, ya que limita a los participantes relevantes para el experimento solo al balde y al agua, una limitación que no ha sido establecida. De hecho, la concavidad del agua claramente implica atracción gravitacional y, por implicación, la Tierra también participa. Aquí hay una crítica debida a Mach argumentando que solo se establece el movimiento relativo: [14]
El experimento de Newton con el recipiente giratorio de agua simplemente nos informa que la rotación relativa del agua con respecto a los lados del recipiente no produce fuerzas centrífugas apreciables, pero que tales fuerzas son producidas por sus rotaciones relativas con respecto a la masa de la tierra. y otros cuerpos celestes.
- Ernst Mach, citado por L. Bouquiaux en Leibniz , p. 104
El grado en que la hipótesis de Mach se integra en la relatividad general se discute en el artículo Principio de Mach ; Generalmente se sostiene que la relatividad general no es enteramente machiana.
Todos los observadores coinciden en que la superficie del agua en rotación es curva. Sin embargo, la explicación de esta curvatura implica una fuerza centrífuga para todos los observadores con la excepción de un observador verdaderamente estacionario, que encuentra que la curvatura es consistente con la velocidad de rotación del agua a medida que la observa, sin necesidad de una fuerza centrífuga adicional. Por lo tanto, se puede identificar un marco estacionario, y no es necesario preguntar "¿Estacionario con respecto a qué?":
La pregunta original, "¿con relación a qué marco de referencia se mantienen las leyes del movimiento?" se revela que está mal planteado. Pues las leyes del movimiento determinan esencialmente una clase de marcos de referencia y (en principio) un procedimiento para construirlos. [15]
Newton también propuso un experimento mental complementario con el mismo objetivo de determinar la ocurrencia de rotación absoluta: el ejemplo de observar dos esferas idénticas en rotación alrededor de su centro de gravedad y unidas por una cuerda. La aparición de tensión en la cuerda es indicativa de rotación absoluta; ver esferas giratorias .
Análisis detallado
El interés histórico del experimento del cubo giratorio es su utilidad para sugerir que se puede detectar la rotación absoluta mediante la observación de la forma de la superficie del agua. Sin embargo, uno podría preguntarse cómo la rotación produce este cambio. A continuación se muestran dos enfoques para comprender la concavidad de la superficie del agua en rotación en un balde.
Leyes del movimiento de Newton
La forma de la superficie de un líquido en rotación en un balde se puede determinar utilizando las leyes de Newton para las diversas fuerzas sobre un elemento de la superficie. Por ejemplo, consulte Knudsen y Hjorth. [16] El análisis comienza con el diagrama de cuerpo libre en el marco de co-rotación donde el agua parece estacionaria. La altura del agua h = h ( r ) es función de la distancia radial r desde el eje de rotación Ω , y el objetivo es determinar esta función. Se muestra que un elemento del volumen de agua en la superficie está sujeto a tres fuerzas: la fuerza vertical debida a la gravedad F g , la fuerza centrífuga horizontal radialmente hacia afuera F Cfgl , y la fuerza normal a la superficie del agua F n debida a el resto del agua que rodea el elemento de superficie seleccionado. Se sabe que la fuerza debida al agua circundante es normal a la superficie del agua porque un líquido en equilibrio no puede soportar esfuerzos cortantes . [17] Para citar a Anthony y Brackett: [18]
La superficie de un fluido de densidad uniforme ..., si está en reposo, es en todas partes perpendicular a las líneas de fuerza; porque si esto no fuera así, la fuerza en un punto de la superficie podría descomponerse en dos componentes, uno perpendicular y otro tangente a la superficie. Pero por la naturaleza de un fluido, la fuerza tangencial establecería un movimiento del fluido, lo cual es contrario a la afirmación de que el fluido está en reposo.
- William Arnold Anthony y Cyrus Fogg Brackett: Libro de texto elemental de física , p. 127
Además, debido a que el elemento agua no se mueve, la suma de las tres fuerzas debe ser cero. Para sumar cero, la fuerza del agua debe apuntar de manera opuesta a la suma de las fuerzas centrífuga y de gravedad, lo que significa que la superficie del agua debe ajustarse para que sus puntos normales apunten en esta dirección. (Un problema muy similar es el diseño de un viraje inclinado , donde la pendiente del viraje se establece para que un automóvil no se salga de la carretera. La analogía en el caso de un cubo giratorio es que el elemento de la superficie del agua se "deslizará" hacia arriba o hacia abajo de la superficie a menos que la normal a la superficie se alinee con el vector resultante formado por la suma de vectores F g + F Cfgl .)
A medida que aumenta r , la fuerza centrífuga aumenta de acuerdo con la relación (las ecuaciones se escriben por unidad de masa):
donde Ω es la tasa constante de rotación del agua. La fuerza gravitacional no cambia en
donde g es la aceleración debida a la gravedad . Estas dos fuerzas se suman para hacer una resultante en un ángulo φ de la vertical dada por
que claramente se vuelve más grande a medida que aumenta r . Para asegurar que esta resultante sea normal a la superficie del agua y, por lo tanto, pueda ser anulada efectivamente por la fuerza del agua debajo, la normal a la superficie debe tener el mismo ángulo, es decir,
que conduce a la ecuación diferencial ordinaria para la forma de la superficie:
o integrando:
donde h (0) es la altura del agua en r = 0. En otras palabras, la superficie del agua es parabólica en su dependencia del radio.
Energía potencial
La forma de la superficie del agua se puede encontrar de una manera diferente, muy intuitiva, utilizando la interesante idea de la energía potencial asociada a la fuerza centrífuga en el marco co-rotativo. En un marco de referencia que gira uniformemente a una velocidad angular Ω, la fuerza centrífuga ficticia es conservadora y tiene una energía potencial de la forma: [19] [20]
donde r es el radio desde el eje de rotación. Este resultado se puede verificar tomando el gradiente del potencial para obtener la fuerza radialmente hacia afuera:
El significado de la energía potencial es que el movimiento de un cuerpo de prueba de un radio más grande a un radio más pequeño implica realizar un trabajo contra la fuerza centrífuga.
La energía potencial es útil, por ejemplo, para comprender la concavidad de la superficie del agua en un cubo giratorio. Observe que, en equilibrio, la superficie adopta una forma tal que un elemento de volumen en cualquier lugar de su superficie tiene la misma energía potencial que en cualquier otro. Siendo así, ningún elemento de agua en la superficie tiene ningún incentivo para moverse de posición, porque todas las posiciones son equivalentes en energía. Es decir, se alcanza el equilibrio. Por otro lado, si las regiones de la superficie con menor energía disponible, el agua que ocupa las ubicaciones de la superficie de mayor energía potencial se movería para ocupar estas posiciones de menor energía, ya que no hay barrera para el movimiento lateral en un líquido ideal.
Podríamos imaginar alterar deliberadamente esta situación de equilibrio alterando momentáneamente de alguna manera la forma de la superficie del agua para hacerla diferente de una superficie de igual energía. Este cambio de forma no sería estable, y el agua no permanecería en nuestra forma artificialmente ideada, sino que participaría en una exploración transitoria de muchas formas hasta que se introduzcan fuerzas de fricción no ideales por chapoteo, ya sea contra los lados del balde o por el agua. naturaleza no ideal del líquido, mató las oscilaciones y el agua se asentó a la forma de equilibrio.
Para ver el principio de una superficie de igual energía en funcionamiento, imagine aumentar gradualmente la velocidad de rotación del cubo desde cero. La superficie del agua es plana al principio y claramente una superficie de igual energía potencial porque todos los puntos de la superficie están a la misma altura en el campo gravitacional que actúa sobre el agua. Sin embargo, a una pequeña velocidad angular de rotación, un elemento de agua superficial puede alcanzar una energía potencial más baja moviéndose hacia afuera bajo la influencia de la fuerza centrífuga. Debido a que el agua es incompresible y debe permanecer dentro de los confines del balde, este movimiento hacia afuera aumenta la profundidad del agua en el radio más grande, aumentando la altura de la superficie en un radio más grande y bajándola en un radio más pequeño. La superficie del agua se vuelve ligeramente cóncava, con la consecuencia de que la energía potencial del agua en el radio mayor se incrementa por el trabajo realizado contra la gravedad para alcanzar la mayor altura. A medida que aumenta la altura del agua, el movimiento hacia la periferia deja de ser ventajoso, porque la reducción de la energía potencial al trabajar con la fuerza centrífuga se equilibra con el aumento de la energía que trabaja contra la gravedad. Por lo tanto, a una tasa de rotación angular dada, una superficie cóncava representa la situación estable, y cuanto más rápida es la rotación, más cóncava es esta superficie. Si se detiene la rotación, la energía almacenada al dar forma a la superficie cóncava debe disiparse, por ejemplo mediante fricción, antes de que se restablezca una superficie plana en equilibrio.
Para implementar cuantitativamente una superficie de energía potencial constante, sea la altura del agua : entonces la energía potencial por unidad de masa aportada por la gravedad es y la energía potencial total por unidad de masa en la superficie es
con el nivel de energía de fondo es independiente de r . En una situación estática (sin movimiento del fluido en el marco giratorio), esta energía es constante independientemente de la posición r . Al requerir que la energía sea constante, obtenemos la forma parabólica :
donde h (0) es la altura en r = 0 (el eje). Vea las Figuras 1 y 2.
El principio de funcionamiento de la centrífuga también puede entenderse simplemente en términos de esta expresión para la energía potencial, que muestra que es favorable energéticamente cuando el volumen alejado del eje de rotación está ocupado por la sustancia más pesada.
Ver también
|
|
Referencias
- ^ Robert Disalle (I. Bernard Cohen y George E. Smith, editores) (2002). El compañero de Cambridge a Newton . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 43. ISBN 0-521-65696-6.
- ^ Gilson, James G. (1 de septiembre de 2004), Principio II de Mach , arXiv : physics / 0409010 , Bibcode : 2004physics ... 9010G
- ^ Ver los Principia en línea en la traducción de Andrew Motte , págs. 77-82.
- ^ René Descartes, traductor de John Cottingham (1988). Descartes: Escritos filosóficos seleccionados . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 191. ISBN 0-521-35812-4.
- ^ Alexandre Koyre (1957). Del Mundo Cerrado al Universo Infinito . Libros olvidados. pag. 75. ISBN 1-60620-143-3.
- ^ René Descartes (1664). Principia Philosophiae . Parte II, §25.
- ^ Daniel Garber (1992). Física metafísica de Descartes . Prensa de la Universidad de Chicago. pag. 170. ISBN 0-226-28219-8.
- ^ Robert Disalle (2006). Comprensión del espacio-tiempo: el desarrollo filosófico de la física desde Newton hasta Einstein . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 19. ISBN 0-521-85790-2.
- ^ Mach, E. (1960 [1883]), La ciencia de la mecánica , LaSalle, IL: Open Court Publishing, p. 284.
- ^ Ignazio Ciufolini, John Archibald Wheeler (1995). Gravitación e inercia . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 386–387. ISBN 0-691-03323-4.
- ^ Para una discusión del argumento original de Newton, vea Max Born & Günther Leibfried (enero de 1962). Teoría de la relatividad de Einstein . Nueva York: Publicaciones Courier Dover. págs. 78–79. ISBN 0-486-60769-0.
- ^ Robert Disalle (25 de abril de 2002). "Análisis filosófico de Newton del espacio y el tiempo" . En I. Bernard Cohen, George Edwin Smith (ed.).op. cit.. pag. 45. ISBN 0-521-65696-6.
- ^ Ver los Principia en línea en Andrew Motte Translation págs. 79-81
- ^ L. Bouquiaux (Marcelo Dascal, editor) (2008). Leibniz . Saltador. pag. 104. ISBN 978-1-4020-8667-0.
- ^ Robert DiSalle (verano de 2002). "Espacio y tiempo: marcos inerciales". En Edward N. Zalta (ed.). La Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- ^ Jens M. Knudsen, Poul G. Hjorth (2000). Elementos de la mecánica newtoniana (3ª ed.). Saltador. pag. 143. ISBN 3-540-67652-X.
- ^ Lawrence S. Lerner (1997). Física para científicos e ingenieros . Jones y Bartlett. pag. 404. ISBN 0-86720-479-6.
- ^ William Arnold Anthony y Cyrus Fogg Brackett (1884). Libro de texto elemental de física . Wiley. pag. 127 .
ley de pascal.
- ^ Robert Daniel Carmichael (1920). La teoría de la relatividad . John Wiley e hijos. pag. 78 .
potencial de Christoffel ficticio.
- ^ Hans J. Weber y George B. Arfken (2003). Métodos matemáticos esenciales para físicos . Prensa académica. pag. 79. ISBN 0-12-059877-9.
Otras lecturas
- Brian Greene (2004). "Capítulo 2, El universo y el cubo". El tejido del cosmos: espacio, tiempo y textura de la realidad . AA Knopf. ISBN 0-375-41288-3.
- La isotropía de la radiación cósmica de fondo es otro indicador de que el universo no gira. Ver:
- RB Partridge (1995). 3 K: La radiación de fondo de microondas cósmica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 279–280. ISBN 0-521-35254-1.
- D. Lynden-Bell (1996). Astrofísica relativista (Igorʹ Dmitrievich Novikov, Bernard Jean Trefor Jones, Draza Marković (Editores) ed.). pag. 167. ISBN 0-521-62113-5.
- Ralph A. Alpher y Robert Herman (1975). La cosmología del Big Bang y la radiación cósmica del cuerpo negro (en Proc. Am. Phil. Soc. Vol. 119, no. 5 (1975) ed.). págs. 325–348. ISBN 9781422371077.
enlaces externos
- Opiniones de Newton sobre el espacio, el tiempo y el movimiento de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford, artículo de Robert Rynasiewicz. Al final de este artículo, se discute la pérdida de distinciones sutiles en las traducciones en comparación con el texto original en latín.
- Vida y filosofía de Leibniz ver la sección sobre Espacio, tiempo e indiscernibles para Leibniz argumentando en contra de la idea de que el espacio actúa como un agente causal.
- Newton's Bucket Un subprograma interactivo que ilustra la forma del agua y un archivo PDF adjunto con una derivación matemática de un modelo de forma de agua más completo que el que se da en este artículo.