El Buddhabrot es la distribución de probabilidad sobre las trayectorias de los puntos que escapan al fractal de Mandelbrot . Su nombre refleja su parecido pareidólico con las representaciones clásicas de Gautama Buda , sentado en una pose de meditación con una marca en la frente ( tikka ), un moño tradicional ( ushnisha ) y un rizo de pelo.
Descubrimiento
La técnica de renderizado de Buddhabrot fue descubierta por Melinda Green, [1] quien luego la describió en una publicación de Usenet de 1993 en sci.fractals. [2]
Investigadores anteriores habían estado muy cerca de encontrar la técnica Buddhabrot precisa. En 1988, Linas Vepstas transmitió imágenes similares [3] a Cliff Pickover para su inclusión en el libro de próxima publicación Computers, Pattern, Chaos, and Beauty . Esto condujo directamente al descubrimiento de los tallos de Pickover . Sin embargo, estos investigadores no filtraron las trayectorias necesarias para producir las formas fantasmales que recuerdan al arte hindú. El filtro inverso "Anti-Buddhabrot" produce imágenes similares a las que no se filtran.
Green llamó por primera vez a este patrón Ganesh, ya que un colaborador indio "lo reconoció instantáneamente como el dios ' Ganesha ', que es el que tiene la cabeza de un elefante". [2] El nombre Buddhabrot fue acuñado más tarde por Lori Gardi. [4]
Método de representación
Matemáticamente, el conjunto de Mandelbrot consiste en el conjunto de puntosen el plano complejo para el cual la secuencia definida iterativamente
no no tiende a infinito como va al infinito para .
La imagen de Buddhabrot se puede construir creando primero una matriz bidimensional de cajas, cada una correspondiente a un píxel final de la imagen. Cada caja por y tiene un tamaño en coordenadas complejas de y , dónde y para una imagen de ancho y altura . Para cada caja, un contador correspondiente se inicializa a cero. A continuación, una muestra aleatoria delos puntos se iteran a través de la función de Mandelbrot. Para los puntos que hacen de escape dentro de un número máximo seleccionado de iteraciones, y por lo tanto son no en el conjunto de Mandelbrot, el contador para cada cuadro introducido durante el escape al infinito se incrementa en 1. En otras palabras, para cada secuencia correspondiente a que se escapa, por cada punto durante la fuga, la caja que se encuentra dentro se incrementa en 1. Los puntos que no escapan dentro del número máximo de iteraciones (y que se considera que están en el conjunto de Mandelbrot) se descartan. Después de una gran cantidad deSe han iterado los valores, luego se eligen los tonos de escala de grises en función de la distribución de los valores registrados en la matriz. El resultado es una gráfica de densidad que resalta las regiones donde los valores pasan la mayor parte del tiempo en su camino hacia el infinito.
Matices
La representación de imágenes de Buddhabrot suele ser más intensiva en términos de computación que las técnicas de representación estándar de Mandelbrot. Esto se debe en parte a que es necesario iterar más puntos aleatorios que píxeles en la imagen para crear una imagen nítida. La representación de áreas con gran zoom requiere incluso más cálculos que para las imágenes estándar de Mandelbrot en las que un píxel determinado se puede calcular directamente independientemente del nivel de zoom. Por el contrario, un píxel en una región ampliada de una imagen de Buddhabrot puede verse afectado por puntos iniciales de regiones muy alejadas de la que se está renderizando. Sin recurrir a técnicas probabilísticas más complejas, [5] renderizar porciones ampliadas de Buddhabrot consiste simplemente en recortar una renderización grande a tamaño completo.
El número máximo de iteraciones elegidas afecta la imagen; los valores más altos dan una apariencia más escasa y más detallada, ya que algunos de los puntos pasan a través de una gran cantidad de píxeles antes de escapar, lo que hace que sus rutas sean más prominentes. Si se usara un máximo más bajo, estos puntos no escaparían a tiempo y se consideraría que no escapaban en absoluto. El número de muestras elegidas también afecta a la imagen, ya que no solo los recuentos de muestras más altos reducen el ruido de la imagen, sino que también pueden reducir la visibilidad de los puntos que se mueven lentamente y los atractores pequeños, que pueden aparecer como rayas visibles en una representación de un recuento de muestras más bajo. . Algunas de estas rayas son visibles en la imagen de la iteración 1,000,000 a continuación.
Más tarde, Green se dio cuenta de que esto proporcionaba una forma natural de crear imágenes en color de Buddhabrot al tomar tres de esas imágenes en escala de grises , que se diferenciaban solo por el número máximo de iteraciones utilizadas y las combinaba en una imagen de un solo color utilizando el mismo método utilizado por los astrónomos para crear colores falsos imágenes de nebulosas y otros objetos celestes. Por ejemplo, se podría asignar una imagen de iteración máxima de 2000 al canal rojo, una imagen de iteración máxima de 200 al canal verde y una imagen de iteración máxima de 20 al canal azul de una imagen en un espacio de color RGB . Algunos han etiquetado imágenes de Buddhabrot utilizando esta técnica como Nebulabrots .
Relación con el mapa logístico
La relación entre el conjunto de Mandelbrot definido por la iteración, y el mapa logístico es bien sabido. Los dos están relacionados por la transformación cuadrática:
La forma tradicional de ilustrar esta relación es alineando el mapa logístico y el conjunto de Mandelbrot a través de la relación entre y , usando un eje x común y un eje y diferente, mostrando una relación unidimensional.
Melinda Green descubrió 'por accidente' que el paradigma Anti-Buddhabrot integra completamente el mapa logístico. Ambos se basan en el rastreo de rutas desde puntos que no escapan, iterados desde un punto de partida (aleatorio), y las funciones de iteración están relacionadas por la transformación dada anteriormente. Entonces es fácil ver que el Anti-Buddhabrot para, trazando caminos con y , simplemente genera el mapa logístico en el avión , cuando se utiliza la transformación dada. Para fines de renderización utilizamos. En el mapa logístico, todos generar en última instancia el mismo camino.
Debido a que tanto el conjunto de Mandelbrot como el mapa logístico son una parte integral del Anti-Buddhabrot, ahora podemos mostrar una relación 3D entre ambos, utilizando los ejes 3D. . La animación muestra el clásico Anti-Buddhabrot con y , este es el conjunto de Mandelbrot 2D en el plano , y también el Anti-Buddhabrot con y , este es el mapa logístico 2D en el plano . Giramos el avión alrededor de -eje, primera muestra , luego girando 90 ° para mostrar , luego gira 90 ° más para mostrar . Podríamos rotar 180 ° más, pero esto da las mismas imágenes, reflejadas alrededor de la-eje.
El mapa logístico Anti-Buddhabrot es de hecho un subconjunto del clásico Anti-Buddhabrot, situado en el plano (o ) de 3D , perpendicular al plano . Enfatizamos esto mostrando brevemente, en una rotación de 90 °, solo el plano proyectado, no 'perturbado' por las proyecciones de los planos con distinto de cero .
Referencias
- ^ Melinda Green. " La técnica Buddhabrot ", superliminal.com .
- ^ a b Daniel Green. " La deidad que se esconde en el m-set ", Groups.Google.com .
- ^ " Diario de cuaderno de dibujo interior ", Linas.org .
- ^ Western News: el periódico de la Universidad de Western Ontario. Reglas del caos (teoría) para desarrolladores de software .
- ^ http://www.steckles.com/buddha/
enlaces externos
- Lobo, Albert. "Conoce la técnica Buddhabrot" . Densidad molecular . Archivado desde el original el 3 de septiembre de 2018 . Consultado el 21 de noviembre de 2011 .
- Mathologer. "El lado oscuro del conjunto de Mandelbrot" . YouTube .