CAT(k) espacio

En matemáticas , un espacio , donde es un número real, es un tipo específico de espacio métrico . Intuitivamente, los triángulos en un espacio son "más delgados" que los "triángulos modelo" correspondientes en un espacio estándar de curvatura constante . En un espacio, la curvatura está limitada desde arriba por . Un caso especial notable es ; los espacios completos se conocen como " espacios de Hadamard " en honor al matemático francés Jacques Hadamard .${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {CAT} (k)}$ ${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {CAT} (k)}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización k = 0}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {CAT} (0)}$

Originalmente, Aleksandrov llamó a estos espacios “ dominio”. La terminología fue acuñada por Mikhail Gromov en 1987 y es un acrónimo de Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Victor Andreevich Toponogov (aunque Toponogov nunca exploró la curvatura delimitada anteriormente en las publicaciones).${\displaystyle {\mathfrak{R}}_{k}}$${\ estilo de visualización \ nombre del operador {CAT} (k)}$

Para un número real , denote la única superficie completa simplemente conectada (variedad de Riemann bidimensional real ) con curvatura constante . Denote por el diámetro de , que es si y para .${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle M_{k}}$ ${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle D_{k}}$${\displaystyle M_{k}}$${\ estilo de visualización \ infinito}$${\ estilo de visualización k \ leq 0}$${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$${\ Displaystyle k> 0}$

Sea un espacio métrico geodésico , es decir, un espacio métrico en el que cada dos puntos pueden estar unidos por un segmento geodésico, una curva continua parametrizada en longitud de arco , cuya longitud${\ estilo de visualización (X, d)}$${\ estilo de visualización x, y \ en X}$ ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$

Modele triángulos en espacios de curvatura positiva (arriba), negativa (medio) y cero (abajo).

La mediana en el triángulo de comparación siempre es más larga que la mediana real.