En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo es un grupo CA o un grupo abeliano centralizador si el centralizador de cualquier elemento no identitario es un subgrupo abeliano . Los grupos CA finitos son de importancia histórica como un ejemplo temprano del tipo de clasificaciones que se usarían en el teorema de Feit-Thompson y la clasificación de grupos simples finitos . Varios grupos infinitos importantes son grupos CA, como los grupos libres , los monstruos Tarski y algunos grupos de Burnside , y los grupos localmente finitos.Los grupos CA se han clasificado explícitamente. Los grupos CA también se denominan grupos conmutativos-transitivos (o grupos CT para abreviar) porque la conmutatividad es una relación transitiva entre los elementos no identitarios de un grupo si y solo si el grupo es un grupo CA.
Historia
Los grupos CA localmente finitos fueron clasificados por varios matemáticos desde 1925 hasta 1998. Primero, se demostró que los grupos CA finitos eran simples o resolubles en ( Weisner 1925 ). Luego, en el teorema de Brauer-Suzuki-Wall ( Brauer, Suzuki y Wall 1958 ), se demostró que los grupos CA finitos de orden par eran grupos de Frobenius , grupos abelianos o grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales sobre un campo finito de orden par, PSL (2, 2 f ) para f ≥ 2. Finalmente, se demostró que los grupos CA finitos de orden impar son grupos de Frobenius o grupos abelianos en ( Suzuki 1957 ) y, por lo tanto, en particular, nunca son simples no abelianos.
Los grupos CA eran importantes en el contexto de la clasificación de grupos simples finitos . Michio Suzuki demostró que cada grupo CA finito , simple y no abeliano es de orden uniforme . Este resultado se extendió primero al teorema de Feit-Hall-Thompson que muestra que los grupos CN finitos, simples y no abelianos tenían un orden uniforme, y luego al teorema de Feit-Thompson que establece que todo grupo finito, simple y no abeliano es de orden uniforme. Una exposición de libro de texto de la clasificación de grupos CA finitos se da como ejemplo 1 y 2 en ( Suzuki 1986 , págs. 291-305). Se incluye una descripción más detallada de los grupos de Frobenius que aparecen en ( Wu 1998 ), donde se muestra que un grupo CA finito y resoluble es un producto semidirecto de un grupo abeliano y un automorfismo libre de punto fijo, y que, a la inversa, cada tal producto semidirecto es un grupo CA finito y soluble. Wu también amplió la clasificación de Suzuki et al. a grupos localmente finitos .
Ejemplos de
Cada grupo abeliano es un grupo CA, y un grupo con un centro no trivial es un grupo CA si y solo si es abeliano. Los grupos CA finitos se clasifican: los solubles son productos semidirectos de grupos abelianos por grupos cíclicos, de modo que cada elemento no trivial actúa libremente en un punto fijo e incluye grupos como los diédricos de orden 4 k + 2, y el grupo alterno en 4 puntos de orden 12, mientras que los no solubles son todos simples y son los grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales PSL (2, 2 n ) para n ≥ 2. Los grupos CA infinitos incluyen grupos libres , PSL (2, R ) y grupos de Burnside de exponente primo grande ( Lyndon & Schupp 2001 , p. 10). Algunos resultados más recientes en el caso infinito se incluyen en ( Wu 1998 ), incluida una clasificación de grupos CA localmente finitos . Wu también observa que los monstruos Tarski son ejemplos obvios de infinitos grupos CA simples.
Trabajos citados
- Brauer, R .; Suzuki, Michio ; Wall, GE (1958), "Una caracterización de los grupos proyectivos unimodulares unidimensionales sobre campos finitos", Illinois Journal of Mathematics , 2 : 718–745, ISSN 0019-2082 , MR 0104734
- Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001), teoría combinatoria de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1, MR 0577064
- Suzuki, Michio (1957), "La inexistencia de un cierto tipo de grupos simples de orden impar", Proceedings of the American Mathematical Society , 8 (4): 686–695, doi : 10.2307 / 2033280 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033280 , MR 0086818
- Suzuki, Michio (1986), Teoría de grupos. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 248 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-10916-9, MR 0815926
- Weisner, L. (1925), "Grupos en los que el normalizador de todos los elementos excepto la identidad es abeliano", Boletín de la American Mathematical Society , 31 : 413–416, doi : 10.1090 / S0002-9904-1925-04079-3 , ISSN 0002-9904 , JFM 51.0112.06
- Wu, Yu-Fen (1998), "Grupos en los que la conmutatividad es una relación transitiva", Journal of Algebra , 207 (1): 165–181, doi : 10.1006 / jabr.1998.7468 , ISSN 0021-8693 , MR 1643082