En topología algebraica, el producto cap es un método de unir una cadena de grado p con una cocadena de grado q , de modo que q ≤ p , para formar una cadena compuesta de grado p - q . Fue introducido por Eduard Čech en 1936, e independientemente por Hassler Whitney en 1938.
Definición
Sea X un espacio topológico y R un anillo de coeficientes. El producto cap es un mapa bilineal de homología y cohomología singulares.
definido mediante la contratación de una cadena singular con una cadena singular por la fórmula:
Aquí, la notación indica la restricción del mapa simplicial a su cara atravesada por los vectores de la base, ver Simplex .
Interpretación
En analogía con la interpretación del producto de taza en términos de la fórmula de Künneth , podemos explicar la existencia del producto de tapa de la siguiente manera. Usando la aproximación CW podemos asumir que es un complejo CW y (y ) es el complejo de sus cadenas celulares (o cochains, respectivamente). Considere entonces la composición
donde tomamos productos tensoriales de complejos de cadenas ,es el mapa diagonal que induce al mapa en el complejo de la cadena, y es el mapa de evaluación (siempre 0 excepto para).
Esta composición luego pasa al cociente para definir el producto tope. , y mirando detenidamente la composición anterior muestra que de hecho toma la forma de mapas , que siempre es cero para .
El producto inclinado
Si en la discusión anterior uno reemplaza por , la construcción se puede replicar (parcialmente) a partir de las asignaciones
- y
para obtener, respectivamente, productos inclinados :
- y
En el caso X = Y , el primero está relacionado con el producto de la tapa por el mapa diagonal:.
Estos 'productos' se parecen más a una división que a una multiplicación, lo que se refleja en su notación.
Ecuaciones
El límite de un producto de capitalización viene dado por:
Dado un mapa f, los mapas inducidos satisfacen:
El producto de tapón y copa están relacionados por:
dónde
- , y
Una consecuencia interesante de la última ecuación es que hace a la derecha módulo .
Ver también
Referencias
- Hatcher, A. , Topología algebraica , Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0 . Discusión detallada de las teorías de homología para complejos y variedades simpliciales, homología singular, etc.
- producto inclinado en nLab