En topología algebraica , en el teorema de aproximación celular , siempre se puede considerar que un mapa entre complejos CW es de un tipo específico. Concretamente, si X e Y son complejos CW, yf : X → Y es un mapa continuo, entonces se dice que f es celular , si f lleva el n -esqueleto de X al n -esqueleto de Y para todo n , es decir, sipara todos n . El contenido del teorema de aproximación celular es entonces que cualquier mapa continuo f : X → Y entre los complejos CW X e Y es homotópico a un mapa celular, y si f ya es celular en un subcomplejo A de X , entonces podemos además elegir la homotopy para ser estacionario en a . Desde un punto de vista topológico algebraico, cualquier mapa entre complejos CW puede, por tanto, tomarse como celular.
Idea de prueba
La prueba se puede dar por inducción después de n , con el enunciado de que f es celular en el esqueleto X n . Para el caso base n = 0, observe que cada componente de ruta de Y debe contener una celda 0. La imagen debajo de f de una celda 0 de X se puede conectar a una celda 0 de Y mediante un camino, pero esto da una homotopía de f a un mapa que es celular en el esqueleto 0 de X.
Supongamos inductivamente que f es celular en el ( n - 1) -skeleton de X , y sea e n sea un n células beta de X . El cierre de e n es compacto en X , siendo la imagen del mapa característico de la célula, y por lo tanto la imagen del cierre de e n bajo f también es compacto en Y . Entonces, es un resultado general de los complejos CW que cualquier subespacio compacto de un complejo CW se encuentra (es decir, se cruza de manera no trivial ) solo con un número finito de celdas del complejo. Por lo tanto, f ( e n ) se encuentra a lo sumo con un número finito de células de Y , por lo que podemos tomarser una célula de la más alta dimensión que se encuentra con f ( e n ). Si, el mapa f ya es celular en e n , ya que en este caso solo las células del n -esqueleto de Y se encuentran con f ( e n ), por lo que podemos suponer que k > n . Es entonces un resultado técnico, no trivial (ver Hatcher) que la restricción de f apuede homotopearse con respecto a X n-1 a un mapa al que le falta un punto p ∈ e k . Dado que la deformación Y k - { p } se retrae en el subespacio Y k - e k , podemos homotopear aún más la restricción de f aa un mapa, digamos, g , con la propiedad de que g ( e n ) pasa por alto la celda e k de Y , todavía relativa a X n-1 . Dado que, para empezar, f ( e n ) sólo encontró un número finito de células de Y , podemos repetir este proceso un número finito de veces para hacerperder todas las celdas de Y de dimensión mayor que n .
Repetimos este proceso para cada n- celdas de X , fijando celdas del subcomplejo A en el que f ya es celular, y así obtenemos una homotopía (relativa al ( n - 1) -esqueleto de X y las n- celdas de a ) de la restricción de f a X n a un mapa celular en todas las células de X de dimensión como máximo n . Usando entonces la propiedad de extensión de homotopía para extender esto a una homotopía en todo X , y parcheando estas homotopías juntas, se terminará la prueba. Para obtener más detalles, consulte a Hatcher.
Aplicaciones
Algunos grupos de homotopía
El teorema de aproximación celular se puede utilizar para calcular inmediatamente algunos grupos de homotopía . En particular, si luego Dar y su estructura canónica CW, con una celda 0 cada una, y con una celda n paray una k- celda paraCualquier mapa de conservación de punto basees entonces homotópico a un mapa cuya imagen se encuentra en el n -esqueleto deque consta únicamente del punto base. Es decir, cualquier mapa de este tipo es nulohomotópico.
Aproximación celular para parejas
Sea f : (X, A) → (Y, B) un mapa de pares CW , es decir, f es un mapa de X a Y , y la imagen debajo f sienta dentro B . Entonces f es homotópico a un mapa celular (X, A) → (Y, B) . Para ver esto, restringir f a A y utilizar aproximación celular para obtener un homotopy de f a un mapa celular en A . Utilice la propiedad de extensión homotopy extender esta homotopy a todos X , y aplicar aproximación celular nuevo para obtener un mapa móvil en X , pero sin violar la propiedad celular en una .
Como consecuencia, tenemos que un par CW (X, A) está conectado en n , si todas las celdas detienen una dimensión estrictamente mayor que n : Si, luego cualquier mapa → (X, A) es homotópico a un mapa celular de pares, y dado que el n -esqueleto de X se encuentra dentro de A , cualquier mapa de este tipo es homotópico a un mapa cuya imagen está en A , y por lo tanto es 0 en la homotopía relativa grupo.
Tenemos en particular queestá conectado en n , por lo que se sigue de la larga secuencia exacta de grupos de homotopía para el par que tenemos isomorfismos → para todos y una sobreyección →.
Aproximación CW
Para cada espacio X se puede construir un complejo CW Z y una equivalencia de homotopía débil que se llama una aproximación CW a X . Aproximación CW, al ser un débil equivalencia homotopy, induce isomorfismos en grupos de homología y cohomología de X . Por lo tanto, a menudo se puede usar la aproximación CW para reducir una declaración general a una versión más simple que solo se refiere a los complejos CW.
Aproximación CW se construye induciendo en skeleta de , para que los mapas son isomorfos para y están en para (para cualquier punto base). Luego está construido a partir de adjuntando (i + 1) -células que (para todos los puntos base)
- están adjuntos por las asignaciones que generan el núcleo de (y se asignan a X por la contracción de los esferoides correspondientes)
- se adjuntan mediante asignaciones constantes y se asignan a X para generar (o ).
La aproximación celular asegura entonces que agregar (i + 1) -celdas no afecta por , tiempo se factoriza por las clases de las asignaciones de adjuntos de estas células dando . Sobrejetividad de es evidente desde el segundo paso de la construcción.
Referencias
- Hatcher, Allen (2005), topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1