En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el funtor diagonal es dado por , que mapea objetos y morfismos . Este functor se puede emplear para dar una descripción alternativa sucinta del producto de los objetos dentro de la categoría : un producto es una flecha universal de a . La flecha comprende los mapas de proyección.
De manera más general, dada una categoría de índice pequeña , se puede construir la categoría de functor , cuyos objetos se denominan diagramas . Para cada objeto en , hay un diagrama constante que mapea cada objeto en a y cada morfismo en a . El functor diagonal asigna a cada objeto de El diagrama , y a cada morfismo en la transformación natural en (dado para cada objeto de por ). Así, por ejemplo, en el caso de quees una categoría discreta con dos objetos, el funtor diagonal se recupera.
Los functores diagonales proporcionan una forma de definir límites y colimits de diagramas. Dado un diagrama , una transformación natural (para algún objeto de ) se llama cono para. Estos conos y sus factorizaciones corresponden precisamente a los objetos y morfismos de la categoría de coma. , y un límite de es un objeto terminal en , es decir, una flecha universal . Dualmente, un colimit de es un objeto inicial en la categoría de coma , es decir, una flecha universal .
Si cada functor de a tiene un límite (que será el caso si es completa ), entonces la operación de tomar límites es en sí misma un funtor de a . El funtor límite es el adjunto a la derecha del funtor diagonal. De manera similar, el functor colimit (que existe si la categoría es cocompleta) es el adjunto a la izquierda del functor diagonal.
Por ejemplo, el functor diagonal descrito anteriormente es el adjunto a la izquierda del functor de producto binario y el adjunto a la derecha del functor de coproducto binario . Otros ejemplos bien conocidos incluyen el pushout , que es el límite del tramo , y el objeto terminal , que es el límite de la categoría vacía .
Ver también
Referencias
- Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Gavillas en geometría y lógica una primera introducción a la teoría topos . Nueva York: Springer-Verlag. págs. 20–23. ISBN 9780387977102.
- Mayo, JP (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Prensa de la Universidad de Chicago. pag. 16. ISBN 0-226-51183-9.