La ecuación del cabrestante o ecuación de fricción de la correa , también conocida como fórmula de Eytelwein (después de Johann Albert Eytelwein ), [1] [2] relaciona la fuerza de sujeción con la fuerza de carga si se enrolla una línea flexible alrededor de un cilindro (un bolardo , un cabrestante o cabrestante ). [3] [2]
![Diagrama de ecuación de cabrestante.svg](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/56/Capstan_equation_diagram.svg/220px-Capstan_equation_diagram.svg.png)
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Debido a la interacción de las fuerzas de fricción y la tensión, la tensión en una línea enrollada alrededor de un cabrestante puede ser diferente en cualquier lado del cabrestante. Una pequeña fuerza de sujeción ejercida en un lado puede soportar una fuerza de carga mucho mayor en el otro lado; este es el principio por el cual funciona un dispositivo de tipo cabrestante.
Un cabrestante de sujeción es un dispositivo de trinquete que solo puede girar en una dirección; una vez que una carga se coloca en su lugar en esa dirección, se puede sostener con una fuerza mucho menor. Un cabrestante motorizado, también llamado cabrestante, gira de modo que la tensión aplicada se multiplica por la fricción entre la cuerda y el cabrestante. En un barco alto, un cabrestante de sujeción y un cabrestante motorizado se utilizan en tándem, de modo que se pueda usar una pequeña fuerza para izar una vela pesada y luego la cuerda se pueda quitar fácilmente del cabrestante motorizado y amarrar.
En la escalada en roca con el llamado top-roping , una persona más liviana puede sujetar (asegurar) a una persona más pesada debido a este efecto.
La formula es
dónde es la tensión aplicada en la línea, es la fuerza resultante ejercida en el otro lado del cabrestante, es el coeficiente de fricción entre la cuerda y los materiales del cabrestante, y es el ángulo total barrido por todas las vueltas de la cuerda, medido en radianes (es decir, con una vuelta completa el ángulo ).
Varias suposiciones deben ser ciertas para que la fórmula sea válida:
- La cuerda está a punto de deslizarse por completo, es decir es la carga máxima que se puede sostener. También se pueden sostener cargas más pequeñas, lo que resulta en un ángulo de contacto efectivo más pequeño.
- Es importante que la línea no sea rígida, en cuyo caso se perdería una fuerza significativa al doblar la línea firmemente alrededor del cilindro. (La ecuación debe modificarse para este caso). Por ejemplo, un cable Bowden es hasta cierto punto rígido y no obedece a los principios de la ecuación del cabrestante.
- La línea no es elástica .
Se puede observar que la ganancia de fuerza aumenta exponencialmente con el coeficiente de fricción, el número de vueltas alrededor del cilindro y el ángulo de contacto. Tenga en cuenta que el radio del cilindro no influye en la ganancia de fuerza .
La siguiente tabla enumera los valores del factor basado en el número de vueltas y el coeficiente de fricción μ .
Numero de vueltas | Coeficiente de fricción μ | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0,1 | 0,2 | 0,3 | 0.4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | |
1 | 1,9 | 3,5 | 6.6 | 12 | 23 | 43 | 81 |
2 | 3,5 | 12 | 43 | 152 | 535 | 1 881 | 6 661 |
3 | 6.6 | 43 | 286 | 1 881 | 12 392 | 81 612 | 437 503 |
4 | 12 | 152 | 1 881 | 23 228 | 286 751 | 3 540 026 | 43 702 631 |
5 | 23 | 535 | 12 392 | 286 751 | 6 635 624 | 153 552 935 | 3 553 321 281 |
De la mesa se ve claramente por qué rara vez se ve una escota (una cuerda al lado suelto de una vela) enrollada más de tres vueltas alrededor de un cabrestante. El aumento de la fuerza sería extrema además de ser contraproducente, ya que hay riesgo de una vez, montar a caballo , resultado de que la hoja se falta, formar un nudo y no correr cuando disminuido (por aflojar el agarre en la cola (extremo libre)).
Es una práctica antigua y moderna que los cabrestantes de ancla y los cabrestantes de foque estén ligeramente ensanchados en la base, en lugar de ser cilíndricos, para evitar que la cuerda ( urdimbre del ancla o escota de vela) se deslice hacia abajo. La cuerda enrollada varias veces alrededor del cabrestante puede deslizarse hacia arriba gradualmente, con poco riesgo de girar, siempre que esté atado (el extremo suelto se suelta), con la mano o con un autoastador.
Por ejemplo, el factor "153.552.935" (5 vueltas alrededor de un cabrestante con un coeficiente de fricción de 0,6) significa, en teoría, que un bebé recién nacido sería capaz de sostener (sin moverse) el peso de dos superportadores USS Nimitz (97.000 toneladas cada uno, pero para el bebé solo sería un poco más de 1 kg). El gran número de vueltas alrededor del cabrestante combinado con un coeficiente de fricción tan alto significa que se necesita muy poca fuerza adicional para mantener un peso tan pesado en su lugar. Los cables necesarios para soportar este peso, así como la capacidad del cabrestante para soportar la fuerza aplastante de esos cables, son consideraciones independientes.
Generalización de la ecuación del cabrestante para una correa trapezoidal
La ecuación de fricción de la correa para una correa en V es:
dónde es el ángulo (en radianes) entre los dos lados planos de la polea contra los que presiona la correa trapezoidal. [4] Una correa plana tiene un ángulo efectivo de.
El material de una correa trapezoidal o una correa serpentina de múltiples V tiende a encajar en la ranura de acoplamiento de una polea a medida que aumenta la carga, lo que mejora la transmisión del par. [5]
Para la misma transmisión de potencia, una correa trapezoidal requiere menos tensión que una correa plana, lo que aumenta la vida útil del rodamiento. [4]
Generalización de la ecuación del cabrestante para una cuerda sobre una superficie ortotrópica arbitraria
Si una cuerda está en equilibrio bajo fuerzas tangenciales sobre una superficie ortotrópica rugosa , se cumplen las tres condiciones siguientes:
- Sin separación - reacción normal es positivo para todos los puntos de la curva de la cuerda:
- , dónde es una curvatura normal de la curva de la cuerda.
- Coeficiente de fricción de arrastre y ángulo satisfacen los siguientes criterios para todos los puntos de la curva
- Valores límite de las fuerzas tangenciales:
- Las fuerzas en ambos extremos de la cuerda. y satisfacen la siguiente desigualdad
- con
- dónde es una curvatura geodésica de la curva de la cuerda, es una curvatura de una cuerda curva, es un coeficiente de fricción en la dirección tangencial.
- Si luego
Ver también
- Fricción de la correa
- Mecánica de contacto por fricción
- Amplificador de par , un dispositivo que aprovecha el efecto cabrestante
Referencias
- ^ Mann, Herman (5 de mayo de 2005). "Fricción de la correa" . Archivado desde el original el 2 de agosto de 2007 . Consultado el 23 de febrero de 2013 .
- ^ a b Attaway, Stephen W. (1 de noviembre de 1999). La mecánica de la fricción en el rescate con cuerdas . Simposio Internacional de Rescate Tecnológico . Consultado el 29 de mayo de 2020 .Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )
- ^ Johnson, KL (1985). Póngase en contacto con mecánicos (PDF) . Consultado el 14 de febrero de 2011 .
- ^ a b Moradmand, Jamshid; Marcks, Russell; Mira, Tom. "Fricción de cinturón y envoltura" (PDF) .
- ^ Slocum, Alexander (2008). "FUNDAMENTOS del Diseño" (PDF) . página 5-9.
- ^ Konyukhov, Alexander (1 de abril de 2015). "Contacto de cuerdas y superficies rugosas ortotrópicas". Revista de Matemática Aplicada y Mecánica . 95 (4): 406–423. Código bibliográfico : 2015ZaMM ... 95..406K . doi : 10.1002 / zamm.201300129 . ISSN 1521-4001 .
- ^ Konyukhov, A .; Izi, R. "Introducción a la mecánica de contacto computacional: un enfoque geométrico" . Wiley.
Otras lecturas
- Arne Kihlberg, Kompendium i Mekanik för E1, del II, Gotemburgo 1980, 60–62.
enlaces externos
- Calculadora de ecuaciones de cabrestante