En la ciencia de los materiales y la mecánica de sólidos , los materiales ortotrópicos tienen propiedades materiales en un punto particular, que difieren a lo largo de tres ejes mutuamente ortogonales , donde cada eje tiene una simetría rotacional doble . Estas diferencias direccionales en la fuerza se pueden cuantificar con la ecuación de Hankinson .
La madera es un ejemplo de material ortotrópico. Las propiedades del material en tres direcciones perpendiculares (axial, radial y circunferencial) son diferentes.
Son un subconjunto de materiales anisotrópicos , porque sus propiedades cambian cuando se miden desde diferentes direcciones.
Un ejemplo familiar de material ortotrópico es la madera . En madera, se pueden definir tres direcciones mutuamente perpendiculares en cada punto en el que las propiedades son diferentes. Es más rígido (y fuerte) a lo largo de la fibra, porque la mayoría de las fibrillas de celulosa están alineadas de esa manera. Por lo general, es menos rígido en la dirección radial (entre los anillos de crecimiento) y es intermedio en la dirección circunferencial. Esta anisotropía fue proporcionada por la evolución, ya que es la que mejor permite que el árbol permanezca erguido.
Debido a que el sistema de coordenadas preferido es cilíndrico-polar, este tipo de ortotropía también se denomina ortotropía polar .
Otro ejemplo de un material ortotrópico es la chapa formada comprimiendo secciones gruesas de metal entre rodillos pesados. Esto aplana y estira su estructura de grano . Como resultado, el material se vuelve anisotrópico : sus propiedades difieren entre la dirección en la que se rodó y cada una de las dos direcciones transversales. Este método se utiliza ventajosamente en vigas de acero estructural y en revestimientos de aviones de aluminio.
Si las propiedades ortotrópicas varían entre los puntos dentro de un objeto, posee tanto ortotropía como inhomogeneidad . Esto sugiere que la ortotropía es propiedad de un punto dentro de un objeto y no del objeto como un todo (a menos que el objeto sea homogéneo). Los planos de simetría asociados también se definen para una pequeña región alrededor de un punto y no necesariamente tienen que ser idénticos a los planos de simetría de todo el objeto.
Los materiales ortotrópicos son un subconjunto de materiales anisotrópicos ; sus propiedades dependen de la dirección en la que se miden. Los materiales ortotrópicos tienen tres planos / ejes de simetría. Un material isotrópico , por el contrario, tiene las mismas propiedades en todas las direcciones. Se puede demostrar que un material que tiene dos planos de simetría debe tener un tercero. Los materiales isotrópicos tienen un número infinito de planos de simetría.
Los materiales transversalmente isotrópicos son materiales ortotrópicos especiales que tienen un eje de simetría (cualquier otro par de ejes que sean perpendiculares al principal y ortogonales entre sí también son ejes de simetría). Un ejemplo común de material isotrópico transversal con un eje de simetría es un polímero reforzado por fibras de grafito o vidrio paralelas. La resistencia y rigidez de dicho material compuesto será normalmente mayor en una dirección paralela a las fibras que en la dirección transversal, y la dirección del espesor normalmente tiene propiedades similares a la dirección transversal. Otro ejemplo sería una membrana biológica, en la que las propiedades en el plano de la membrana serán diferentes a las de la dirección perpendicular. Se ha demostrado que las propiedades del material ortotrópico proporcionan una representación más precisa de la simetría elástica del hueso y también pueden proporcionar información sobre la direccionalidad tridimensional de las propiedades del material a nivel del tejido del hueso. [1]
Es importante tener en cuenta que un material que es anisotrópico en una escala de longitud puede ser isotrópico en otra escala de longitud (generalmente mayor). Por ejemplo, la mayoría de los metales son policristalinos con granos muy pequeños . Cada uno de los granos individuales puede ser anisotrópico, pero si el material en su conjunto comprende muchos granos orientados al azar, entonces sus propiedades mecánicas medidas serán un promedio de las propiedades sobre todas las posibles orientaciones de los granos individuales.
Relaciones materiales anisotrópicos
El comportamiento material está representado en las teorías físicas por relaciones constitutivas . Se puede representar una gran clase de comportamientos físicos mediante modelos de materiales lineales que toman la forma de un tensor de segundo orden . El tensor de material proporciona una relación entre dos vectores y se puede escribir como
dónde son dos vectores que representan cantidades físicas y es el tensor material de segundo orden. Si expresamos la ecuación anterior en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas ortonormal , podemos escribir
En la relación anterior se ha asumido la suma de índices repetidos . En forma de matriz tenemos
En la tabla siguiente se enumeran ejemplos de problemas físicos que se ajustan a la plantilla anterior. [2]
Problema | | | |
---|
Conducción eléctrica | Corriente eléctrica
| Campo eléctrico
| Conductividad eléctrica |
Dieléctricos | Desplazamiento eléctrico
| Campo eléctrico
| Permitividad eléctrica |
Magnetismo | Inducción magnética
| Campo magnético
| Permeabilidad magnética |
Conduccion termica | Flujo de calor
| Gradiente de temperatura
| Conductividad térmica |
Difusión | Flujo de partículas
| Gradiente de concentración
| Difusividad |
Flujo en medios porosos | Velocidad de fluido ponderada
| Gradiente de presión
| Permeabilidad a los fluidos |
Condición para la simetría del material
La matriz material tiene una simetría con respecto a una transformación ortogonal dada () si no cambia cuando se somete a esa transformación. Para la invariancia de las propiedades del material bajo tal transformación, requerimos
Por lo tanto, la condición para la simetría del material es (usando la definición de una transformación ortogonal)
Las transformaciones ortogonales se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante un matriz dada por
Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma de matriz como
Propiedades del material ortotrópico
Un material ortotrópico tiene tres planos de simetría ortogonal . Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal tal que los ejes coincidan con las normales a los tres planos de simetría, las matrices de transformación son
Se puede demostrar que si la matriz para un material es invariante bajo la reflexión sobre dos planos ortogonales, entonces también es invariante bajo la reflexión sobre el tercer plano ortogonal.
Considere el reflejo acerca de avión. Entonces nosotros tenemos
La relación anterior implica que . Luego considere una reflexión acerca de avión. Entonces tenemos
Eso implica que . Por lo tanto, las propiedades del material de un material ortotrópico están descritas por la matriz
Elasticidad anisotrópica
En elasticidad lineal , la relación entre tensión y deformación depende del tipo de material considerado. Esta relación se conoce como ley de Hooke . Para materiales anisotrópicos, la ley de Hooke se puede escribir como [3]
dónde es el tensor de tensión , es el tensor de deformación, y es el tensor de rigidez elástica . Si los tensores en la expresión anterior se describen en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas ortonormal , podemos escribir
donde se ha asumido la suma sobre índices repetidos. Dado que los tensores de tensión y deformación son simétricos , y dado que la relación tensión-deformación en la elasticidad lineal se puede derivar de una función de densidad de energía de deformación , las siguientes simetrías son válidas para materiales elásticos lineales
Debido a las simetrías anteriores, la relación tensión-deformación para materiales elásticos lineales se puede expresar en forma de matriz como
Una representación alternativa en notación Voigt es
o
La matriz de rigidez en la relación anterior satisface la simetría de puntos . [4]
Condición para la simetría del material
La matriz de rigidez satisface una condición de simetría dada si no cambia cuando se somete a la correspondiente transformación ortogonal . La transformación ortogonal puede representar simetría con respecto a un punto , un eje o un plano . Las transformaciones ortogonales en la elasticidad lineal incluyen rotaciones y reflejos, pero no transformaciones que cambian de forma y se pueden representar, en coordenadas ortonormales, mediante un matriz dada por
En notación de Voigt, la matriz de transformación para el tensor de tensión se puede expresar como matriz dado por [4]
La transformación del tensor de deformación tiene una forma ligeramente diferente debido a la elección de la notación. Esta matriz de transformación es
Se puede demostrar que .
Las propiedades elásticas de un continuo son invariantes bajo una transformación ortogonal si y solo si [4]
Matrices de rigidez y cumplimiento en elasticidad ortotrópica
Un material elástico ortotrópico tiene tres planos de simetría ortogonal . Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal tal que los ejes coincidan con las normales a los tres planos de simetría, las matrices de transformación son
Podemos demostrar que si la matriz para un material elástico lineal es invariante bajo la reflexión sobre dos planos ortogonales, entonces también es invariante bajo la reflexión sobre el tercer plano ortogonal.
Si consideramos el reflejo acerca de avión, entonces tenemos
Entonces el requisito implica que [4]
El requisito anterior solo se puede satisfacer si
Consideremos ahora el reflejo acerca de avión. En ese caso
Usando la condición de invariancia nuevamente, obtenemos el requisito adicional de que
No se puede obtener más información porque la reflexión sobre el tercer plano de simetría no es independiente de las reflexiones sobre los planos que ya hemos considerado. Por lo tanto, la matriz de rigidez de un material elástico lineal ortotrópico se puede escribir como
La inversa de esta matriz se escribe comúnmente como [5]
dónde es el módulo de Young a lo largo del eje, es el módulo de corte en la dirección en el plano cuya normal está en dirección , y es la relación de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección cuando se aplica una extensión en la dirección .
Límites en los módulos de materiales elásticos ortotrópicos
La relación tensión-deformación para materiales elásticos lineales ortotrópicos se puede escribir en notación Voigt como
donde la matriz de cumplimiento es dado por
La matriz de cumplimiento es simétrica y debe ser definida positiva para que la densidad de energía de deformación sea positiva. Esto implica del criterio de Sylvester que todos los principales menores de la matriz son positivos, [6] es decir,
dónde es el submatriz principal de.
Luego,
Podemos demostrar que este conjunto de condiciones implica que [7]
o
Sin embargo, no se pueden colocar límites inferiores similares en los valores de las relaciones de Poisson . [6]