En matemáticas , la dimensión de cobertura de Lebesgue o dimensión topológica de un espacio topológico es una de varias formas diferentes de definir la dimensión del espacio de una manera topológicamente invariante .
Discusión informal
Para los espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de cobertura de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para puntos, uno para líneas, dos para planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que se necesita una definición precisa en tales casos. La definición procede examinando lo que sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .
En general, un espacio topológico X puede estar cubierto por conjuntos abiertos , en el sentido de que se puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tal que X se encuentra dentro de su unión . La dimensión de cobertura es el número n más pequeño, de modo que para cada cobertura, hay un refinamiento en el que cada punto de X se encuentra en la intersección de no más de n + 1 conjuntos de cobertura. Esta es la esencia de la definición formal a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un entero ) que describa el espacio y que no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que es invariante bajo homeomorfismos .
La idea general se ilustra en los diagramas a continuación, que muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.
El diagrama de la izquierda muestra un refinamiento (a la izquierda) de una cubierta (a la derecha) de una línea circular (negra). Observe cómo en el refinamiento ningún punto de la línea está contenido en más de dos conjuntos. Observe también cómo los conjuntos se enlazan entre sí para formar una "cadena". | |
La parte inferior izquierda es un refinamiento de una cubierta (parte superior) de una forma plana (oscura) para que todos los puntos de la forma estén contenidos en un máximo de tres conjuntos. La parte inferior derecha es un intento de refinar la portada para que ningún punto quede contenido en más de dos conjuntos. Esto falla en la intersección de fronteras establecidas. Por lo tanto, una forma plana no es "tejida" o no puede cubrirse con "cadenas", pero en cierto sentido es más gruesa; es decir, su dimensión topológica debe ser superior a uno. |
Definicion formal
La primera definición formal de dimensión de cobertura fue dada por Eduard Čech , basado en un resultado anterior de Henri Lebesgue . [1]
Una definición moderna es la siguiente. Una tapa abierta de un espacio topológico X es una familia de conjuntos abiertos cuya unión incluye X . La capa o el orden de una cubierta es el número más pequeño n (si existe) tal que cada punto del espacio pertenece, como máximo, a n conjuntos en la cubierta. Un refinamiento de una cubierta C es otra cubierta, cada uno de cuyos conjuntos es un subconjunto de un conjunto en C . La dimensión de cobertura de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n , de modo que cada cubierta abierta C de X (independientemente de la capa) tiene un refinamiento abierto con la capa n + 1 o menos. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.
Como caso especial, un espacio topológico es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura si cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en conjuntos abiertos disjuntos de modo que cualquier punto del espacio esté contenido exactamente en un conjunto abierto de este refinamiento. .
A menudo es conveniente decir que la dimensión de cobertura del conjunto vacío es -1.
Ejemplos de
Cualquier cubierta abierta dada del círculo unitario tendrá un refinamiento que consiste en una colección de arcos abiertos . El círculo tiene dimensión uno, según esta definición, porque cualquier cobertura de este tipo se puede refinar aún más hasta la etapa en la que un punto x dado del círculo está contenido en como máximo dos arcos abiertos. Es decir, cualquiera que sea la colección de arcos con la que comencemos, algunos pueden descartarse o encogerse, de modo que el resto todavía cubra el círculo pero con superposiciones simples.
De manera similar, cualquier cubierta abierta del disco unitario en el plano bidimensional puede refinarse de modo que cualquier punto del disco esté contenido en no más de tres conjuntos abiertos, mientras que dos en general no son suficientes. Por tanto, la dimensión de cobertura del disco es dos.
De manera más general, el espacio euclidiano n - dimensional tiene dimensión de cobertura n .
Propiedades
- Los espacios homeomorfos tienen la misma dimensión de cobertura. Es decir, la dimensión de cobertura es una invariante topológica .
- La dimensión de cobertura de Lebesgue coincide con la dimensión afín de un complejo simplicial finito ; este es el teorema de cobertura de Lebesgue .
- La dimensión de cobertura de un espacio normal es menor o igual que la dimensión inductiva grande .
- La dimensión de cobertura de un espacio normal X essi y solo si para cualquier subconjunto cerrado A de X , si es continuo, entonces hay una extensión de a . Aquí,es la esfera de n dimensiones .
- (Teorema de Ostrand sobre la dimensión coloreada). Un espacio normal satisface la desigualdad si y solo si para cada tapa abierta localmente finita del espacio existe una tapa abierta del espacio que puede representarse como la unión de familias , dónde , de modo que cada contiene conjuntos disjuntos y para cada y .
- La dimensión de cobertura de un espacio de Hausdorff paracompacto es mayor o igual a su dimensión cohomológica (en el sentido de gavillas ), [2] es decir, uno tiene por cada gavilla de grupos abelianos en y cada mayor que la dimensión de cobertura de .
Ver también
Referencias
- ^ Kuperberg, Krystyna , ed. (1995), Obras completas de Witold Hurewicz , American Mathematical Society, Serie de obras completas, 4 , American Mathematical Society, p. xxiii, nota al pie 3, ISBN 9780821800119,
El descubrimiento de Lebesgue llevó más tarde a la introducción por E. Čech de la dimensión de cobertura
. - ↑ Godement 1973, II.5.12, p. 236
- Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR 0345092
- Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Otras lecturas
Histórico
- Karl Menger , Espacios generales y espacios cartesianos , (1926) Comunicaciones a la Academia de Ciencias de Amsterdam. Traducción al inglés reimpresa en Classics on Fractals , Gerald A. Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
- Karl Menger , Dimensionstheorie , (1928) Editores BG Teubner, Leipzig.
- AR Pears, Teoría de la dimensión de los espacios generales , (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
Moderno
- VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, Topología general I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178-4 .
enlaces externos
- "Dimensión de Lebesgue" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]