El algoritmo de Cartan-Karlhede es un procedimiento para clasificar y comparar completamente las variedades de Riemann . Dadas dos variedades de Riemann de la misma dimensión, no siempre es obvio si son localmente isométricas . [1] Élie Cartan , utilizando su cálculo exterior con su método de marcos móviles , demostró que siempre es posible comparar las variedades. Carl Brans desarrolló aún más el método, [2] y Anders Karlhede presentó la primera implementación práctica en 1980. [3]
La estrategia principal del algoritmo es tomar derivadas covariantes del tensor de Riemann . Cartan demostró que en n dimensiones como máximo n ( n +1)/2 diferenciaciones son suficientes. Si el tensor de Riemann y sus derivados de una variedad son algebraicamente compatibles con la otra, entonces las dos variedades son isométricas. Por lo tanto, el algoritmo de Cartan-Karlhede actúa como una especie de generalización de la clasificación de Petrov .
El número potencialmente grande de derivados puede ser computacionalmente prohibitivo. El algoritmo se implementó en uno de los primeros motores de computación simbólica, SHEEP , pero el tamaño de los cálculos demostró ser demasiado difícil de manejar para los primeros sistemas informáticos. [4] [5] Para la mayoría de los problemas considerados, en realidad se requieren muchas menos derivadas que el máximo, y el algoritmo es más manejable en las computadoras modernas. Por otro lado, no existe una versión disponible públicamente en software más moderno. [6]
El algoritmo de Cartan-Karlhede tiene aplicaciones importantes en relatividad general . Una de las razones de esto es que la noción más simple de invariantes de curvatura no distingue los espaciotiempos tan bien como distingue las variedades de Riemann . Esta diferencia de comportamiento se debe en última instancia al hecho de que los espaciotiempos tienen subgrupos de isotropía que son subgrupos del grupo de Lorentz SO + (1,3), que es un grupo de Lie no compacto , mientras que las variedades de Riemann de cuatro dimensiones (es decir, con métrica definida positiva tensor ), tienen grupos de isotropía que son subgrupos del grupo compacto de Lie SO(4).
En 4 dimensiones, la mejora de Karlhede al programa de Cartan reduce el número máximo de derivadas covariantes del tensor de Riemann necesarias para comparar métricas a 7. En el peor de los casos, esto requiere 3156 componentes de tensor independientes. [7] Hay modelos conocidos de espacio-tiempo que requieren las 7 derivadas covariantes. [8] Sin embargo, para ciertas familias especiales de modelos de espacio-tiempo, a menudo son suficientes muchos menos. Ahora se sabe, por ejemplo, que