En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de Petrov (también conocida como clasificación de Petrov-Pirani-Penrose) describe las posibles simetrías algebraicas del tensor de Weyl en cada evento en una variedad de Lorentz .
Se aplica con mayor frecuencia al estudiar soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein , pero estrictamente hablando, la clasificación es un teorema en matemáticas puras que se aplica a cualquier variedad de Lorentz, independientemente de cualquier interpretación física. La clasificación fue encontrada en 1954 por AZ Petrov e independientemente por Felix Pirani en 1957.
Teorema de clasificación
Podemos pensar en un tensor de cuarto rango como el tensor de Weyl , evaluado en algún evento , actuando sobre el espacio de bivectores en ese evento como un operador lineal actuando sobre un espacio vectorial:
Entonces, es natural considerar el problema de encontrar valores propios y autovectores (que ahora se conocen como autobivectores) tal que
En los espaciotiempos de Lorentz (cuatridimensionales), hay un espacio de seis dimensiones de bivectores antisimétricos en cada evento. Sin embargo, las simetrías del tensor de Weyl implican que cualquier eigenbivector debe pertenecer a un subconjunto de cuatro dimensiones. Por lo tanto, el tensor de Weyl (en un evento dado) puede tener como máximo cuatro autobivectores linealmente independientes.
Al igual que en la teoría de los autovectores de un operador lineal ordinario, los autobivectores del tensor de Weyl pueden ocurrir con varias multiplicidades . Al igual que en el caso de los operadores lineales ordinarios, cualquier multiplicidad entre los autobivectores indica una especie de simetría algebraica del tensor de Weyl en el evento dado. Tal como cabría esperar de la teoría de los valores propios de un operador lineal ordinario en un espacio vectorial de cuatro dimensiones, los diferentes tipos de tensor de Weyl (en un evento dado) se pueden determinar resolviendo una ecuación característica , en este caso una cuartica. ecuación .
Estos autobivectores están asociados con ciertos vectores nulos en el espacio-tiempo original, que se denominan direcciones nulas principales (en un evento dado). El álgebra multilineal relevante está algo involucrado (ver las citas a continuación), pero el teorema de clasificación resultante establece que hay precisamente seis tipos posibles de simetría algebraica. Estos se conocen como tipos Petrov :
- Tipo I : cuatro direcciones nulas principales simples,
- Tipo II : una dirección nula principal doble y dos direcciones nulas principales simples,
- Tipo D : dos direcciones nulas principales dobles,
- Tipo III : una dirección nula principal triple y una simple,
- Tipo N : una dirección nula principal cuádruple,
- Tipo O : el tensor de Weyl desaparece.
Las posibles transiciones entre los tipos de Petrov se muestran en la figura, que también puede interpretarse en el sentido de que algunos de los tipos de Petrov son "más especiales" que otros. Por ejemplo, escriba I , el tipo más general, puede degenerar a los tipos II o D , mientras que el tipo II puede degenerar a los tipos III , N , o D .
Diferentes eventos en un espacio-tiempo dado pueden tener diferentes tipos de Petrov. Un tensor de Weyl que tiene tipo I (en algún evento) se llama algebraicamente general ; de lo contrario, se llama algebraicamente especial (en ese evento). En la relatividad general, los espaciotiempos de tipo O son conformemente planos .
Formalismo de Newman-Penrose
El formalismo de Newman-Penrose se utiliza a menudo en la práctica para la clasificación. Considere el siguiente conjunto de bivectores: [ aclaración necesaria ]
El tensor de Weyl se puede expresar como una combinación de estos bivectores mediante
donde el son los escalares de Weyl y cc es el conjugado complejo. Los seis tipos diferentes de Petrov se distinguen por cuál de los escalares de Weyl desaparece. Las condiciones son
- Tipo I :,
- Tipo II :,
- Tipo D :,
- Tipo III :,
- Tipo N :,
- Tipo O :.
Criterios bel
Dada una métrica en una variedad de Lorentz, el tensor de Weyl para esta métrica se puede calcular. Si el tensor de Weyl es algebraicamente especial en algunos, existe un conjunto útil de condiciones, encontradas por Lluis (o Louis) Bel y Robert Debever, [1] para determinar con precisión el tipo de Petrov en. Denotando los componentes del tensor de Weyl en por (asumido distinto de cero, es decir, no del tipo O ), los criterios de Bel pueden expresarse como:
- es de tipo N si y solo si existe un vector satisfactorio
dónde es necesariamente nulo y único (hasta escalar).
- Si no es de tipo N , entonceses de tipo III si y solo si existe un vector satisfactorio
dónde es necesariamente nulo y único (hasta escalar).
- es de tipo II si y solo si existe un vector satisfactorio
- y ( )
dónde es necesariamente nulo y único (hasta escalar).
- es de tipo D si y solo si existen dos vectores linealmente independientes , satisfaciendo las condiciones
- , ( )
y
- , ( ).
dónde es el dual del tensor de Weyl en .
De hecho, para cada criterio anterior, existen condiciones equivalentes para que el tensor de Weyl tenga ese tipo. Estas condiciones equivalentes se expresan en términos de dual y auto-dual del tensor de Weyl y ciertos bivectores y se recopilan en Hall (2004).
Los criterios de Bel encuentran aplicación en la relatividad general donde la determinación del tipo Petrov de tensores Weyl algebraicamente especiales se logra mediante la búsqueda de vectores nulos.
Interpretación física
De acuerdo con la relatividad general , los diversos tipos de Petrov algebraicamente especiales tienen algunas interpretaciones físicas interesantes, la clasificación a veces se llama clasificación de campos gravitacionales .
Las regiones de tipo D están asociadas con los campos gravitacionales de objetos masivos aislados, como las estrellas. Más precisamente, los campos de tipo D ocurren como el campo exterior de un objeto gravitante que se caracteriza completamente por su masa y momento angular. (Un objeto más general podría tener momentos multipolares superiores distintos de cero .) Las dos direcciones nulas principales dobles definen congruencias nulas "radialmente" entrante y saliente cerca del objeto que es la fuente del campo.
El tensor electrogravítico (o tensor de mareas ) en una región de tipo D es muy análogo a los campos gravitacionales que se describen en la gravedad newtoniana mediante un potencial gravitacional de tipo Coulomb . Un campo de mareas de este tipo se caracteriza por la tensión en una dirección y la compresión en las direcciones ortogonales; los valores propios tienen el patrón (-2,1,1). Por ejemplo, una nave espacial que orbita la Tierra experimenta una pequeña tensión a lo largo de un radio desde el centro de la Tierra y una pequeña compresión en las direcciones ortogonales. Al igual que en la gravitación newtoniana, este campo de mareas típicamente decae como, dónde es la distancia del objeto.
Si el objeto gira alrededor de algún eje , además de los efectos de marea, habrá varios efectos gravitomagnéticos , como fuerzas de giro en giroscopios transportados por un observador. En el vacío de Kerr , que es el ejemplo más conocido de solución de vacío de tipo D , esta parte del campo decae como.
Las regiones de tipo III están asociadas con un tipo de radiación gravitacional longitudinal . En tales regiones, las fuerzas de las mareas tienen un efecto de cizallamiento . Esta posibilidad a menudo se descuida, en parte porque la radiación gravitacional que surge en la teoría de campo débil es de tipo N , y en parte porque la radiación de tipo III se desintegra como, que es más rápida que la radiación de tipo N.
Las regiones de tipo N están asociadas con la radiación gravitacional transversal , que es el tipo que los astrónomos han detectado con LIGO . La dirección nula principal cuádruple corresponde al vector de onda que describe la dirección de propagación de esta radiación. Por lo general, se descompone como, Por lo que el campo de radiación de largo alcance es de tipo N .
Las regiones de tipo II combinan los efectos mencionados anteriormente para los tipos D , III y N , de una manera no lineal bastante complicada.
Las regiones de tipo O , o regiones conformemente planas , están asociadas con lugares donde el tensor de Weyl desaparece de manera idéntica. En este caso, se dice que la curvatura es Ricci puro . En una región conformemente plana, cualquier efecto gravitacional debe deberse a la presencia inmediata de materia o la energía de campo de algún campo no gravitacional (como un campo electromagnético ). En cierto sentido, esto significa que ningún objeto distante está ejerciendo una influencia de largo alcance en los eventos de nuestra región. Más precisamente, si hay campos gravitacionales que varían en el tiempo en regiones distantes, la noticia aún no ha llegado a nuestra región conformemente plana.
La radiación gravitacional emitida por un sistema aislado generalmente no será algebraicamente especial. El teorema del peeling describe la forma en que, a medida que uno se aleja de la fuente de radiación, los diversos componentes del campo de radiación se "despegan", hasta que finalmente solo la radiación de tipo N se nota a grandes distancias. Esto es similar al teorema del peeling electromagnético .
Ejemplos de
En algunas soluciones (más o menos) familiares, el tensor de Weyl tiene el mismo tipo de Petrov en cada evento:
- el vacío de Kerr es de tipo D en todas partes ,
- ciertas aspiradoras Robinson / Trautman son de tipo III en todas partes ,
- los espaciotiempos de onda pp son en todas partes tipo N ,
- los modelos FLRW son de tipo O en todas partes .
De manera más general, cualquier espaciotiempo esféricamente simétrico debe ser de tipo D (u O ). Se conocen todos los espaciotiempo algebraicamente especiales que tienen varios tipos de tensor de tensión-energía , por ejemplo, todas las soluciones de vacío tipo D
Algunas clases de soluciones pueden caracterizarse invariablemente utilizando simetrías algebraicas del tensor de Weyl: por ejemplo, la clase de electrovacío nulo plano no conforme o soluciones de polvo nulo que admiten una congruencia nula en expansión pero sin torsión es precisamente la clase de espaciotiempo de Robinson / Trautmann . Suelen ser de tipo II , pero incluyen ejemplos de tipo III y tipo N.
Generalización a dimensiones superiores
A. Coley, R. Milson, V. Pravda y A. Pravdová (2004) desarrollaron una generalización de la clasificación algebraica a la dimensión espaciotemporal arbitraria . Su enfoque utiliza un enfoque de base de marco nulo , es decir, una base de marco que contiene dos vectores nulos y , junto con vectores espaciales. Los componentes de la base del marco del tensor de Weyl se clasifican por sus propiedades de transformación según los impulsos de Lorentz locales . Si los componentes particulares de Weyl desaparecen, entonces y / o se dice que son direcciones nulas alineadas con Weyl (WAND). En cuatro dimensiones,es una VARITA si y solo si es una dirección nula principal en el sentido definido anteriormente. Este enfoque proporciona una extensión natural de dimensiones superiores de cada uno de los diversos tipos algebraicos II , D , etc. definidos anteriormente.
Una generalización alternativa, pero inequivalente, fue definida previamente por de Smet (2002), basada en un enfoque espinorial . Sin embargo, el enfoque de De Smet se limita a 5 dimensiones únicamente.
Ver también
- Clasificación de campos electromagnéticos.
- Soluciones exactas en relatividad general
- Clasificación segre
- Teorema de peeling
- Tensor de plebanski
Referencias
- ^ Marcello Ortaggio (2009), Criterios Bel-Debever para la clasificación de los tensores Weyl en dimensiones superiores.
- Coley, A .; et al. (2004). "Clasificación del tensor de Weyl en dimensiones superiores". Gravedad clásica y cuántica . 21 (7): L35 – L42. arXiv : gr-qc / 0401008 . Código bibliográfico : 2004CQGra..21L..35C . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 21/7 / L01 .
- de Smet, P. (2002). "Los agujeros negros en cilindros no son algebraicamente especiales". Gravedad clásica y cuántica . 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th / 0206106 . Código bibliográfico : 2002CQGra..19.4877D . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 19/19/307 .
- d'Inverno, Ray (1992). Presentación de la relatividad de Einstein . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-859686-3. Ver secciones 21.7, 21.8
- Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (Notas de la conferencia científica mundial en física) . Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5. Consulte las secciones 7.3, 7.4 para obtener una discusión completa de la clasificación de Petrov .
- MacCallum, MAH (2000). "Nota del editor: Clasificación de espacios que definen campos gravitacionales". Relatividad general y gravitación . 32 (8): 1661–1663. Código Bibliográfico : 2000GReGr..32.1661P . doi : 10.1023 / A: 1001958823984 .
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- Petrov, AZ (1954). "Klassifikacya prostranstv opredelyayushchikh polya tyagoteniya". Uch. Zapiski Kazan. Gos. Univ . 114 (8): 55–69. Traducción en inglés Petrov, AZ (2000). "Clasificación de espacios definidos por campos gravitacionales". Relatividad general y gravitación . 32 (8): 1665–1685. Código Bibliográfico : 2000GReGr..32.1665P . doi : 10.1023 / A: 1001910908054 .
- Petrov, AZ (1969). Espacios de Einstein . Oxford: Pérgamo. ISBN 0080123155., traducido por RF Kelleher y J. Woodrow.
- Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C. y Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7. Ver capítulos 4, 26